Matematické Fórum

Gooorila · 21. 01. 2009 19:00

Zdar
Slibuji, že jsem prohlížel založené thready na integrály, ale 100% to nechápu.
Derivace jsem skousnul v pohodě, primitivní integrace předpokládám také, hrubý princip Per partes ještě chápu, u substituce jsem v háji úplně.

Začnu Per partes:
\int x*sin x dx =

Nyní si vytvořím u, u', v a v'. Ve jedinném příkladu, který jsme počítali s učitelkou, jsme si zadali:
u' = sinx
v = x
Nyní to zintegruji a dostávám:
u = -cosx
v' = 1

Dál už to chápu, že pokračuji u*v' -\int u*v = ... , ale nechápu zvolení u, u', v a v'. Podle jakého klíče si vybírám, kterou hodnotu přiřadím kam? Učitelka to objasnila tím, že si to zvolíme dle toho, co se nám bude lépe integrovat a čeho se radši zbavíme, ale přece když si to zadám naopak, dostanu jiný výsledek. Podle čeho si volím a co kam zapisuji?

U substituce je to horší:
\int (5x-6)^3 dx =
Zde jsme si zvolili: t = 5x-6 (tohle ještě chápu)
Následuje ale: dt = 5dx (tenhle řádek nechápu vůbec)
a končím: dt/5 = dx (tohle už zase chápu, zjistím si hodnotu dx)

Dál už zase jakž takž pokračuju, ale jak jsem to udělal, netuším.

lukaszh · 21. 01. 2009 19:10

↑ Gooorila:
K tomu per partes vám to povedala sedliacky, ale správne :-) Určite ti nemôže vyjsť iný výsledok, akurát si postup sťažíš. Vždy volíš, buď u' a v, alebo u a v'. Ale v značení je to jedno. K tomu príkladu:
$\int x\sin x\,\text{d}x$
Tu sa zvolí ako u = x. Teda je to typ
$\int uv'\,\text{d}x=uv-\int u'v\,\text{d}x$
Môžeš vidieť, že v druhom integrále je derivácia u, teda pri voľbe u=x mi to v druhom vypadne, čo práve chcem. Keby si to zvolil naopak, tak ti tam nič nevypadne, iba sa to sťaží na integrál:
$\int x\sin x\,\text{d}x=\frac{1}{2}x^2\sin x-\frac{1}{2}\int x^2\cos x\,\text{d}x$
A s týmto by si čo robil? Ďalšie dve per partes??? Ide len o to, aby ti jedna z funkcií v súčine vypadla a tú druhú už zintegruješ.

Dobrý príklad na per partes, čo by ani človek nepovedal je:
$\int\ln x\,\text{d}x$
Tu sa ani (žiadny - klasický) súčin nevyskytuje a predsa je to per partes.

marnes · 21. 01. 2009 19:11

↑ Gooorila:K per partes. Opravdu je to někdy jedno, ale podstatou je dostat integrál jenodušší. Takže kdyby jsi si to zvolil naopak, tak následný integrál by obsahoval x na druhou. Pokud se například bude vyskytovat v součinu ln, tak ten nejde integrovat, jen derivovat a podle toho musíš zvolit
U substituce část kterou nechápeš si představ tak, že zderivuješ zvlášť stanu pravou - takže derivace t je jedna a připíšeš dt a zvlášť pravou 5x-6 je 5 a připíšeš dx a jelikož je to substituce, tak právě musíš nahradit i to dx. Snad to tak stačí

Gooorila · 21. 01. 2009 20:28

↑ lukaszh:

Popravdě, u tohoto příkladu bych postupoval stejně, jako bylo napsáno. Z mého hlediska to vypadá na první pohled tak, že když zvolím za u = x, ve výsledku mi zbudou hodnoty -cos x, x a 1. V opačném případě bych počítal s hodnotami 1, sin x a -cos x, což j na první pohled složitější :o). Já se ale učím tím, že se stále dokola pokouším počítat, až na to nějak přijdu. A nyní počítám:

\int e^x * cos x dx. Když budu uvažovat stejně, jako u předešlého příkladu, budu pracovat buď s e^x, cos x a sin x, nebo s sin x, e^x a e^x. Když na to koukám, nevidím, že bych si nějakým krokem něco ušetřil.

lukaszh · 21. 01. 2009 21:09

↑ Gooorila:
Tento príklad, ktorý si vytiahol, je iná kategória per partes. Tam už si treba uvedomiť súvislosti. Poviem, že tento integrál, keď som sa učil, som riešil podobne ako mnoho začiatočníkov. Natrieskať tam per partes, ale spätne sa na to pozerám, tak je v tom jednoduchosť. Najlepšie je zvoliť e^x = u'. Ale mám pocit, že tu je to jedno.
$\int\text{e}^x\cos x\,\text{d}x=\text{e}^x\cos x+\boxed{\int\text{e}^x\sin x\,\text{d}x}$
Dostal som tam ďalší integrál. Teraz opäť použijem per partes a opäť volím e^x=u'
$\boxed{\int\text{e}^x\sin x\,\text{d}x}=\text{e}^x\sin x-\int\text{e}^x\cos x\,\text{d}x$
Toto dosadím spätne:
$\int\text{e}^x\cos x\,\text{d}x=\text{e}^x\cos x+\text{e}^x\sin x-\int\text{e}^x\cos x\,\text{d}x$
Zvolím substitúciu integrál = beta.
$\beta(x)=\text{e}^x\cos x+\text{e}^x\sin x-\beta(x)$
Už vieš čo treba robiť?

Gooorila · 22. 01. 2009 12:24

↑ lukaszh:

Tak jsem chtěl napsat, že je to jasné a není :o).
Když jsem koukal na tvůj postup, tak jsem se zaradoval, že vím, kde jsem dělal chybu. Ty jsi zintegroval zadání a následně jsi ještě jednou integroval výsledek. Ale koukl jsem se do materiálů ze školy, kde je přesně tohle zadání (\int e^x * cos x dx) a k němu je přiřazen výsledek: 1/2 e^x (sin x + cos x) + c.
Takže buď to učitelka nějak zjednodušila a druhou integraci po nás nechce, nebo beru nějaké drogy. Jen mě ale na první pohled zarazilo, kde jsem vzal kladné znaménko před \int v tvém prvním řádku?

O.T.: Omlouvám se, ale jak sem vkládáte ty obrázky? Vy to vytvoříte v nějakém externím SW, sejmete obrazovku, oříznete, uložíte a pak uploadujete? To mi připadá nějak komplikované.

ttopi · 22. 01. 2009 12:26 — Editoval ttopi (22. 01. 2009 12:27)

To je TeX. Když dáš Poslat nový příspěvek, otevře se ti napravo editor... To co v něm pak vytvoříš zkopíruješ do psacího pole nalevo, ale pozor! musíš v poli dát "[tex][/tex]" - na to je tam i zkratka.

Lukee · 22. 01. 2009 12:47

Gooorila napsal(a):
O.T.: Omlouvám se, ale jak sem vkládáte ty obrázky? Vy to vytvoříte v nějakém externím SW, sejmete obrazovku, oříznete, uložíte a pak uploadujete? To mi připadá nějak komplikované.

Případně si na ten obrázek vzorce klikni -- do spodního políčka se ti nakopíruje kód, který ten obrázek vygeneroval.

Gooorila · 22. 01. 2009 13:55

Ahaaa, já odpovídal tím okýnkem dole (rychlá odpověď) a tam se mi editor neukazoval. Dík

$\int e^x sin x dx$

marnes · 22. 01. 2009 14:24

↑ lukaszh:Výsledek učitelky je správný. Při integraci ti vyšly nějaké výrazy a mínus ten samý integrál. Takže ten integrál dáš na pravou stranu a máš, že 2 integrály je rovno té pravé strně, takže pak jeden integrál je roven polovině pravé strany. Tu substituci už bych nedělal

Cheop · 22. 01. 2009 14:30 — Editoval Cheop (22. 01. 2009 14:59)

↑ lukaszh:
Když ten integrál převedeš na druhou stranu tak dostaneš 2 krát to co bylo předmětem integrování.
Netřeba zavádět substituce..
Dostaneš: $\int\text{e}^x\cos x\,\text{d}x=\text{e}^x\cos x+\text{e}^x\sin x-\int\text{e}^x\cos x\,\text{d}x\nl2\int\text{e}^x\cos x\,\text{d}x=\text{e}^x\cos x+\text{e}^x\sin x\nl\int\text{e}^x\cos x\,\text{d}x=\frac 12(\text{e}^x\cos x+\text{e}^x\sin x)=\frac{e^x}{2}\left(\cos x+\sin x\right)$

PS: Koukám, že stejný nápad měl marnes přede mnou.

marnes · 22. 01. 2009 14:33

↑ Cheop:Jo, akorát to neumím tak hezky rozepsat:-(

Olin · 22. 01. 2009 16:44

Ještě k tomu per partes: často když integrujeme výraz ve tvaru $\int P(x) f(x) \mathrm{d}x$ , kde $P(x)$ je nějaký polynom (třeba x), tak volíme $u = P(x), \, u' = P'(x)$ , protože se postupným derivováním toho polynomu zbavíme. Toto funguje ale jen tehdy, když jde $f(x)$ nějak "pěkně" integrovat.

lukaszh · 22. 01. 2009 17:51

↑ marnes:↑ Cheop:
A prečo tie príspevky adresujete mne? Nemali by smerovať ku ↑ Gooorila: ???

Gooorila · 22. 01. 2009 22:11

Zdar
Tak počítám to tu už více než 3 hodiny a necvaká mi to :o). Integrace primitivních funkcí mi nedělá problém. U Per partes v tom hledám asi něco složitého, protože pořád stojím na určení u, u', v a v'.
Protože na tom stojím a něco dělám blbě, takže to shrnu:
Mám zadáno:
$\int x*cosx dx$
Mohu tedy pracovat s $x$ a $cos x$ . Z těchto hodnot si určím u' a v (takže v tomto případě $u'=cos x ; v=x ;$ a tyto hodnoty zintegruji).
Takže dostávám:
$u'=cos x \rightarrow u=sin x$
a
$v=x \rightarrow v'=1$
a dále již pokračuji dle vzorce:
$u * v - \int u * v'$ .

Protože je to všem jasné, tak radši píšu, jak jsem to pochopil, protože jsem to zjevně pochopil špatně a stále přehlížím to, kde chybu dělám.

Pro vysvětlení: Celému tématu integrací jsme ve škole věnovali 2 hodiny a v materiálech elearningu je zmínka o integracích pouze:

a to je k celé Per partes vše (kromě pěti příkladů na konci, kde je pouze zadání a výsledek) takže hledám informace tady a googlím. Kromě posloupnosti jsem se nikdy takhle nezablokoval na matematice.

A to ještě musím zítra přijít na substituci, které je věnováno v materiálech stejný prostor :o)

lukaszh

↑ Gooorila:
Ale ja neviem, kde to viazne. Veď už keď máš ten integrál, čo je tu 5x napísaný:
x*cos x
tak si vypíš:

a tam kde je jednotka, to sa bude hodiť do druhého integrálu, čím sa výpočet výrazne jednoduší.

Keby si volil:

tak sa ti tam očividne nezjednoduší nič. Je zbytočné sedieť nad jedným príkladom. Dám ti iný na per partes aby si sa to naučil. Aj s tvojím postupom to sem vyrieš:

$\boxed{\int x\text{e}^{-x}\,\text{d}x}\qquad\text{a teraz !}$

Gooorila · 22. 01. 2009 22:33

$\int x\text{e}^{-x} dx = |u'={e}^{-x};v=x; u={e}^{-x} ; v'=1| = {e}^{-x} * x - \int {e}^{-x} * 1 = {e}^{-x} * x - {e}^{-x} + C$

lukaszh · 22. 01. 2009 22:35

↑ Gooorila:
Princíp si pochopil správne, musím pochváliť. Ale máš tam chybičku $u=-e^{-x}$ má byť správne.

Gooorila · 22. 01. 2009 22:44

Tak dík, to mínus jsem si vůbec nevšiml, ale asi tam zase hledám něco složitého. Jdu pomalu spát a možná se ráno probudím a bude mi to jasné (tak jako již mockrát).

Takže dík, že jste se se mnou otravovali :o)

Matematické Fórum

#1 21. 01. 2009 19:00

Vysvětlení integrace Per partes a Substituce

#2 21. 01. 2009 19:10

Re: Vysvětlení integrace Per partes a Substituce

#3 21. 01. 2009 19:11

Re: Vysvětlení integrace Per partes a Substituce

#4 21. 01. 2009 20:28

Re: Vysvětlení integrace Per partes a Substituce

#5 21. 01. 2009 21:09

Re: Vysvětlení integrace Per partes a Substituce

#6 22. 01. 2009 12:24

Re: Vysvětlení integrace Per partes a Substituce

#7 22. 01. 2009 12:26 — Editoval ttopi (22. 01. 2009 12:27)

Re: Vysvětlení integrace Per partes a Substituce

#8 22. 01. 2009 12:47

Re: Vysvětlení integrace Per partes a Substituce

Gooorila napsal(a):

#9 22. 01. 2009 13:55

Re: Vysvětlení integrace Per partes a Substituce

#10 22. 01. 2009 14:24

Re: Vysvětlení integrace Per partes a Substituce

#11 22. 01. 2009 14:30 — Editoval Cheop (22. 01. 2009 14:59)

Re: Vysvětlení integrace Per partes a Substituce

#12 22. 01. 2009 14:33

Re: Vysvětlení integrace Per partes a Substituce

#13 22. 01. 2009 16:44

Re: Vysvětlení integrace Per partes a Substituce

#14 22. 01. 2009 17:51

Re: Vysvětlení integrace Per partes a Substituce

#15 22. 01. 2009 22:11

Re: Vysvětlení integrace Per partes a Substituce

#16 22. 01. 2009 22:17 — Editoval lukaszh (22. 01. 2009 22:17)

Re: Vysvětlení integrace Per partes a Substituce

#17 22. 01. 2009 22:33

Re: Vysvětlení integrace Per partes a Substituce

#18 22. 01. 2009 22:35

Re: Vysvětlení integrace Per partes a Substituce

#19 22. 01. 2009 22:44

Re: Vysvětlení integrace Per partes a Substituce

Zápatí