Matematické Fórum

Spown3 · 23. 11. 2013 22:24

Zdravím, pomohli by ste mi s príkladom

Nájdite dotyčnicu k elipse $\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{3} = 1$ tak aby bola kolma na priamku $y = x+1$ . Určte rovnicu dotyčnice a súradnice dotykového bodu.
(Použite diferenciálny počet reálnej funkcie jednej realnej premennej, nepoužívajte analytickú geometriu)

Ďakujem za každú radu.

jelena · 24. 11. 2013 12:10

Zdravím,

začneš sestavením tečny k funkci zadané implicitně. Jelikož bod doteku není zadání, tak se využije podmínka, že "nová přímka" tečny má být kolmá na zadanou přímku $y = x+1$ . Co to znamená (z analytické geometrie) a jak to použijeme? Děkuji.

Zkus pohledat na fóru, takových úloh zde v předchozích létech bylo více.

Spown3 · 24. 11. 2013 12:26

Zdravim,

tou analytickou geometriou je myslene to aby sa nepocitalo cez diskriminant.

Mozes byt prosim trochu presnejsia s tym ako to vypocitat? Na zaciatku by sa to nemalo zderivovat?

Spown3 · 24. 11. 2013 12:48 — Editoval Spown3 (24. 11. 2013 12:48)

Takže skusil som to takto:

1. zderivoval som $y = x+1$ vzniklo y´=1
2. dosadil som do $\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{3}=1$
z toho mi vyslo ze
$x = -\frac{2}{\sqrt{3}}$
a
$x = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Je to dobre alebo mi vysiel uplny nezmysel?

jelena · 24. 11. 2013 18:00

↑ Spown3:

děkuji, 1. krok není úplně nesmyslný, ale směrnice přímky může být určena i jen ze zápisu samotné přímky $y = 1\cdot x+1$ , odsud směrnice je k=1.

Našel jsi postup stanovení rovnice tečny pro funkci v implicitním tvaru? Např. zde - věta 5.3.3, také příklady na tečnu a postupy derivování implicitních funkcí. Zde, prosím, začni.

Při sestavení rovnice tečny narazíme na problém, že nemáme zadán bod doteku, proto použijeme údaje o přímce $y = x+1$ a faktu, že tato přímka má být s tečnou kolmá. Něco podobného jsme s kolegou diskutovali zde, ale není to příliš přehledné.

Spown3 · 24. 11. 2013 18:00

Prosim moze mi niekto potvrdit alebo vyvratit bod dotyku $x=-\frac{2}{\sqrt{3}}$ a $x=\frac{2}{\sqrt{3}}$ ?

A pomoct s dalsim postup riesenia tohto prikladu, pripadne aj opravu predosleho prispevku? :(

jelena · 24. 11. 2013 18:01

↑ Spown3:

to píšeme zároveň, tak to ještě projdi, prosím ↑ příspěvek 5:

zdenek1 · 24. 11. 2013 18:33

↑ Spown3:
body dotyku jsou špatně

Spown3 · 24. 11. 2013 18:48

Vypocital som si implicitnu derivaciu a vyslo mi $-\frac{3x}{2y}$

teraz ako urcim smernicu priamky ktora ma byt kolma?

k = kx + q
k = -3x +1 ?
kt = -2

potom uz len ta smernica sa ma rovnat tej derivacii a z nej si vyjadrim y?

zdenek1 · 24. 11. 2013 19:14

↑ Spown3:
Takže máš $y^\prime=-\frac{3x}{2y}$
tečna bude mít rovnici
$y=y^\prime(x_0)(x-x_0)+y_0$ (1)
kde $[x_0;y_0]$ je bod dotyku
Dále: pro směrnice kolmých přímek platí
$k_1\cdot k_2=-1$
to znamená, že
$-\frac{3x_0}{2y_0}\cdot 1=-1\ \Rightarrow \ y_0=\frac32x_0$
protže bod dotyku leží na té elipse, bude platit
$3x_0^2+2\cdot \left(\frac32x_0\right)^2=6\ \Rightarrow \ x_0=\pm\frac{2}{\sqrt5}$
a
$y_0=\pm\frac{3}{\sqrt5}$
Nyní dosadíš do (1)
$y=-\frac{3\frac{\pm 2}{\sqrt5}}{2\frac{\pm 3}{\sqrt5}}\left(x\pm\frac{2}{\sqrt5}\right)\mp \frac{3}{\sqrt5}$
a upravíš
$t:y=-x\pm\sqrt5$