Matematické Fórum

Razzor · 25. 11. 2013 17:10 — Editoval Razzor (25. 11. 2013 17:11)

Zdravím, potřeboval bych pomoci s příkladem, kdyby se našel někdo, kdo by to vypočítal, nebo alespoň někdo, kdo napsal, jak vůbec na to, byl bych moc vděčný...

Zadání: Zintegrovat obě varianty a dokázat, že i když je výsledek různý, tak se jedná o stejnou funkci. A zdůvodnit proč to tak je.

Příklad:

Děkuji za jakoukoliv pomoc :)

Takjo · 25. 11. 2013 17:17

↑ Razzor:
Dobrý den,
pro řešení obou variant použijte vhodnou substituci:

a) $t=cosx$

b) $t=sinx$

a zkuste postupně řešit... :)

Razzor · 25. 11. 2013 17:25

shodou náhod substituci vůbec nerozumím :/

Jj · 25. 11. 2013 17:52

↑ Razzor:

Dobrý večer,
řekl bych, že můžete obě varianty upravit (roznásobením) na součty integrálů tvaru

a) $\int \sin x\cos^nxdx = -\frac{1}{n+1}cos^{n+1}x dx$
b) $\int \sin^mx\cos xdx = \frac{1}{m+1}sin^{m+1}x dx$

Výsledky mohou mít formálně různý tvar, mohou se však lišit jen o konstantu. Ukázat to
lze odečtením výsledků od sebe, po úpravách pomocí goniometrických vzorců musí vyjít
konstantní hodnota.

dejviddejvid · 25. 11. 2013 17:55

↑ Razzor:

Ahoj, substituce je vlastně nahrazení nějakého výrazu jiným jednodušším výrazem. Takže budeš místo $\cos x$ dávat $t$ . např u b) $\sin ^{3}x=t^3$ .

Samozřejmě si musíš vyjádřit co bude nový diferenciál a jeho vztah k původnímu: (klasicky derivací)

Ten trik v té substituci je ten, že $dt=\cos x dx$ .

!!! Na konci integrace se vrátíš zpět k použité substituci. A opět za $t$ dosadíš $\sin x$ .

056kl · 25. 11. 2013 18:09

Asi by mu nejvíc bodlo, kdyby mu ty priklady nekdo vyresil, kdyz neumi ani substituci ne? :)

Razzor · 26. 11. 2013 20:49

i po vysvětlení substituce stejně nevím, jak to spočítat a odůvodnit.. :)

gadgetka · 26. 11. 2013 21:57

Např.
$\int{\sin^2x\cos^2x\cos^2x\sin x\cos x}dx=\frac 12\int{t(1-t)^2}dt$
s: $\sin^2 x =t$
$2\sin x\cos xdx=dt$

Jj · 27. 11. 2013 11:08

↑ Razzor:

Nebo bez substitucí (roznásobením na součty integrálů):

a)

$\int \sin x(1-\cos^2x)\cos^5xdx=\int (\cos^5x\sin x- \cos^7x\sin x)dx=$
$=\int \cos^5x\sin xdx- \int \cos^7x\sin xdx$ , což se dá přímo integrovat (viz ↑ Jj:):
$=-\frac{1}{6}\cos^6 x +\frac{1}{8}\cos^8x + C$

Podobně varianta ad b).

Matematické Fórum

#1 25. 11. 2013 17:10 — Editoval Razzor (25. 11. 2013 17:11)

Integrály

#2 25. 11. 2013 17:17

Re: Integrály

#3 25. 11. 2013 17:25

Re: Integrály

#4 25. 11. 2013 17:52

Re: Integrály

#5 25. 11. 2013 17:55

Re: Integrály

#6 25. 11. 2013 18:09

Re: Integrály

#7 26. 11. 2013 20:49

Re: Integrály

#8 26. 11. 2013 21:57

Re: Integrály

#9 27. 11. 2013 11:08

Re: Integrály

Zápatí