Matematické Fórum

nanny1 · 25. 11. 2013 09:03

Dobrý den,
potýkám se s důkazem nerovnosti $(a+b)^{p}\le 2^{p-1}(a^{p}+b^{p})$ pro $a,b\ge 0, p >1$ Zkoušela jsem ten výraz různě upravovat, přesunovat z jedné strany na druhou, ale nic extra, co by mi pomohlo s důkazem, jsem v tom neviděla. :( Je vidět, že je všechno nezáporné a že funkce $x^{p}$ je konvexní - napadlo mě nějak využít Jensenovu nerovnost, ale moc v tomhle případě nevím jak.. Prosím, mohli byste mě trochu popostrčit, jakým směrem se ubírat? Pomůže mi nějak rozvoj levé strany podle binomické věty?

Rumburak · 25. 11. 2013 10:08

↑ nanny1:

Ahoj.

Případ $a = b = 0$ je triviální.

V ostatních uvažovaných případech je ta nerovnice ekvivalentní s $\frac{1}{2^{p-1}}\le$\frac{a}{a+b}$^p + $\frac{b}{a+b}$^p$ ,

při čemž čísla $x :=\frac{a}{a+b}, y := \frac{b}{a+b}$ jsou nezáporná a splňují rovnici $x + y = 1$ .

To nás vede k úloze hledat minimum funkce $f(x) := x^p + (1-x)^p , p > 1$ na intervalu $\langle 0, 1 \rangle$ .

nanny1 · 25. 11. 2013 10:38

↑ Rumburak: Děkuju. Zatím nějak nemůžu přijít na to, jak se dospěje k té ekvivalentní úpravě, je to nějaký rozklad na parciální zlomky? Ještě mě napadá jedna možnost, pokud si teda správně myslím, že obecně platí $(a+b)^{p}\le a^{p}+b^{p}$ , ale je to tak jednoduchý, že to asi bude špatně. :D

Rumburak

↑ nanny1:

K tomu ekvivalentnímu tvaru se dospěje tak, že nerovnici $(a+b)^{p}\le 2^{p-1}(a^{p}+b^{p})$ vydělíme
výrazem $(a+b)^{p}\cdot 2^{p-1}$ , který je za příslušných předpokladů (včetně $\neg (a = b = 0)$ ) kladný.

Nerovnost $(a+b)^{p}\le a^{p}+b^{p}$ pro uvažovaná $a, b, p$ obecně neplatí (viz případ $p = 2$ ).

nanny1 · 25. 11. 2013 10:48

Aha, jasně, už tu úpravu vidím.

nanny1 · 25. 11. 2013 11:55 — Editoval nanny1 (25. 11. 2013 12:00)

Už jsem to pochopila, teď ještě najít to minimum.. Nevím, jestli to mám dobře, vychází mi minimum v bodě x=0,5, pro který vychází rovnost s výrazem na levé straně $1/2^{p-1}$ . Pro ostatní hodnoty x z intervalu <0,1> vychází na levé straně vždycky menší číslo. Tím pádem nerovnost platí. Jestli se nepletu..

Rumburak

Ano, na tomto principu je důkaz postaven. Tvůj výsledek je správně.

nanny1 · 25. 11. 2013 18:25

Děkuju mockrát za pomoc a za trpělivost. :)

Matematické Fórum

#1 25. 11. 2013 09:03

Důkaz nerovnosti

#2 25. 11. 2013 10:08

Re: Důkaz nerovnosti

#3 25. 11. 2013 10:38

Re: Důkaz nerovnosti

#4 25. 11. 2013 10:48 — Editoval Rumburak (25. 11. 2013 10:50)

Re: Důkaz nerovnosti

#5 25. 11. 2013 10:48

Re: Důkaz nerovnosti

#6 25. 11. 2013 11:55 — Editoval nanny1 (25. 11. 2013 12:00)

Re: Důkaz nerovnosti

#7 25. 11. 2013 12:12 — Editoval Rumburak (25. 11. 2013 12:18)

Re: Důkaz nerovnosti

#8 25. 11. 2013 18:25

Re: Důkaz nerovnosti

Zápatí