Matematické Fórum

Mirgeee · 25. 11. 2013 18:51

Dobrý den, jak by se spočítala takováto limita? Asi je třeba nějak vhodně sevřít...?

$\lim_{n\to \infty}{{1} \over {(n!)^2} }\sum_{k=1}^{n}(k!)^2$

Díky moc!

Bati · 26. 11. 2013 09:56

↑ Mirgeee:
Ahoj,
ano, sečíst to neumíme, takže asi bude třeba sevřít. Spodní odhad je jednoduchý:
$\frac1{(n!)^2}\sum_{k=1}^{n}(k!)^2\geq\frac1{(n!)^2}(n!)^2=1$ .

Ten horní je horší, ale dá se taky ukázat, že to je jednička. Klíčový (ale jednoduchý) trik je napsat si to takhle:
$\frac1{(n!)^2}\sum_{k=1}^{n}(k!)^2=1+\frac1{(n!)^2}\sum_{k=1}^{n-1}(k!)^2$ .

Teď je třeba odhadnout tu poslední sumu shora výrazem, který jde k nule, což už není těžké. Pro kontrolu:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Můžeš si pak snadno ověřit, že bez toho triku by tento poslední odhad nefungoval.

user · 27. 11. 2013 01:26

Ahoj,

pěkný odhad, toto by také mohlo fungovat http://cs.wikipedia.org/wiki/Stolzova_v%C4%9Bta .

Matematické Fórum

#1 25. 11. 2013 18:51

Limita

#2 26. 11. 2013 09:56

Re: Limita

#3 27. 11. 2013 01:26

Re: Limita

Zápatí