Matematické Fórum

piko11 · 25. 11. 2013 19:52

Ahojte, prosím vás viete mi niekto poradiť ako sa má vypočítať tento príklad:

"V aritmetickej postupnosti $a_{3}=7$ , $a_{9}=19$ . Koľko členov tejto postupnosti treba sčítať, aby ich súčet bol 288?!

Vypočítal som niečo ale neviem či je to dobre a ani neviem ako mám postupovať ďalej.

Môj výpočet:

$a_{3}=7; a_{9}=19; s_{n}=288; n=?$

$a_{r}=a_{s}+(r-s)*d$
$7=19+(3-9)*d$
$7=19-6d$
$-12=-6d$
$d=2$

$a_{n}=a_{1}+(n-1)*d$
$a_{3}=a_{1}+(n-1)*d$
$7=a_{1}+(3-1)*2$
$7=a_{1}+4$
$a_{1}=3$

Mám vypočítaný prvý člen $a_{1}=3$ a diferenciu $d=2$ .

Teraz som vypočítal $a_{n}$ .
$a_{n}=a_{1}+(n-1)*d$
$a_{n}=3+(n-1)*2$
$a_{n}=3+2n-2$
$a_{n}=2n+1$

Teraz by som to dosadil do vzorca $s_{n}=(a_{1}+a_{n})*\frac{n}{2}$
čiže
$288=(3+a_{n})*\frac{n}{2}$
$288=(3+2n+1)*\frac{n}{2}$
$576=n*(3+2n+1)$
$576=3n+2n^{2}+n$
$576=4n+2n^{2}$

a neviem čo stým ďalej? ...
Je to vôbec správny postup ? Môžete mi poradiť ako ďalej ...
Ďakujem

gadgetka · 25. 11. 2013 20:06

Dopočítáš kořeny kvadratické rovnice, z nichž ten kladný je výsledkem.

piko11 · 25. 11. 2013 20:28

Ježiš, to ma vôbec nenapadlo ...
Ďakujem.

Výpočet:

$2n^{2}+4n-576=0$

kde
$a=2; b=4; c= -576$

$D=b^{2}-4*a*c$
$D=4^{2}-4*2*(-576)$
$D=16-8*(-576)$
$D=16+4624$
$D=4624$

$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{d}}{2*a}$
$x_{1}=\frac{-4-\sqrt{4624}}{2*2}$
$x_{1}=\frac{-4-68}{4}$
$x_{1}=\frac{-72}{4}$
$x_{1}=-18$

$x_{1}=\frac{-b+\sqrt{d}}{2*a}$
$x_{2}=\frac{-4+\sqrt{4624}}{2*2}$
$x_{2}=\frac{-4+68}{4}$
$x_{2}=\frac{64}{4}$
$x_{2}=16$

Ako chápem, že tam má byť kladný člen ale prečo je na to nejaký matematický zákon alebo niečo podobné ?
Mohlo ísť niekde niečo inak upraviť, aby som nemusel počítať s takými vysokými číslami alebo nejako to zjednodušiť?

Čiže výsledok je že .... Treba sčítať 16 členov postupnosti.

Ďakujem.