Matematické Fórum

KateřinaDardová · 24. 11. 2013 09:12

Uvažujme, že L je svaz, dokažte, že platí:
$(a\wedge c)\vee (b\wedge d)\le (a\vee b)\wedge (c\vee d)$

Obecně platí: $(a\wedge b)\le a,b$
$(a\vee b)\ge a,b$

Levou stranu si tedy můžu upravit takto:
$(a\wedge c)\vee (b\wedge d)\le (a\vee b)$
$(a\wedge c)\vee (b\wedge d)\le (c\vee d)$

Potom tam mám poznámku, že $(a\vee b)\wedge (c\vee d)$ je největší dolní ohraničení a $(a\vee b),(c\vee d)$ , že jsou dolní ohraničení.

Nejsem si zcela jistá, z čeho to vyplývá...a jestli má někdo radu jak při takových typech důkazů postupovat, budu moc ráda.Děkuji

Andrejka3 · 24. 11. 2013 15:34

↑ KateřinaDardová:
Ahoj.
Nevím, čemu v tom důkazu nerozumíš. Víš, co je svaz a jaká je souvislost se svazově uspořádanou množinou?
Pokud ne, pak věz, že definujeme-li na množině $L$ relaci
$a\leq b \iff a\wedge b = a$ ,
pak je to ekvivalentní
$a\leq b \iff a\vee b=b$
a $(L,\leq)$ je svazově uspořádaná množina. V tomto uspořádání pak platí
$a\wedge b = \inf \{a,b\}$ a $a\vee b= \sup\{a,b\}$ .

K důkazu:
$\alpha=(a\vee b)\wedge (c\vee d)$ je průsek prvků $(a\vee b)$ a $(c\vee d)$ , tedy můžeme psát (viz výše)
$\alpha=(a\vee b)\wedge (c\vee d)= \inf\{a\vee b,c\vee d\}$ .
Takže nutně z definice infima je $\alpha=(a\vee b)\wedge (c\vee d)$ největší dolní závorou (ohraničením) množiny $\{a\vee b,c\vee d\}$ .
V důkazu je řečeno, že $\beta=(a\wedge c)\vee (b\wedge d)$ je dolní závora (ač není napsáno proč***) množiny $\{a\vee b,c\vee d\}$ .
Tato dolní závora je menší nebo rovna největší dolní závoře, $\beta \leq \alpha$ .

***je třeba to rozepsat?

KateřinaDardová · 25. 11. 2013 08:25

↑ Andrejka3:
Takže jsem vlastně dokázala, že $(a\wedge c)\vee (b\wedge d)\le (c\vee d)$ a zároveň $\vee (b\wedge d)\le (c\vee d)$ , tím pádem jestli je $(a\vee b)\wedge (c\vee d)$ nejvetší dolní ohraničení, potom samotné prvky $(a\vee b),(c\vee d)$ musí být menší..?
Vždy se tedy snažím upravit jednu stranu nerovnice tak, abych tam dostala jeden prvek z druhé strany a pak postup opakuji abych dostala ten druhý prvek...

KateřinaDardová · 25. 11. 2013 08:27

za tím a zároveň má být toto : $\le (a\vee b)$

Andrejka3

edit: oprava.
$(a\wedge c)\vee (b\wedge d)\le (c\vee d)$ a zároveň
$(a\wedge c)\vee (b\wedge d)\le (a\vee b)$ , tedy $(a\wedge c)\vee (b\wedge d)$ je dolní ohraničení $\{a\vee b,c\vee d\}$ ,
tedy je menší nebo rovno největšímu dolnímu ohraničení $\{a\vee b,c\vee d\}$ , $(a\vee b)\wedge (c\vee d)$ .

Akorát nevidím nikde, že by bylo dokázáno, že
$(a\wedge c)\vee (b\wedge d)\le (c\vee d)$ a zároveň
$(a\wedge c)\vee (b\wedge d)\le (a\vee b)$ .

KateřinaDardová · 25. 11. 2013 11:40

↑ Andrejka3:
Jestliže mám příklad: $a\vee (b\wedge c)\le (a\vee b)\wedge c$ , kde $a\le c$ , potom:

$a\vee (b\wedge c)\le (a\vee b)$ a
$a\vee (b\wedge c)\le (a\vee c)=c$

největší dolní ohraničení je $(a\vee b)\wedge c$
a dolní ohraničení množiny $\{a\vee b,c\}$ je..?

Andrejka3 · 25. 11. 2013 13:35

↑ KateřinaDardová:
To je pokračování předchozího nebo nový příklad?

KateřinaDardová · 25. 11. 2013 14:18

↑ Andrejka3:
nový

Andrejka3 · 25. 11. 2013 19:32

↑ KateřinaDardová:
Tak prosím založ nové téma (pravidla fóra).

KateřinaDardová · 25. 11. 2013 21:23

↑ Andrejka3:
Jde mi o objasnění toho, jak určím dolní ohraničení, ne o vyřešení nového příkladu...

Andrejka3

↑ KateřinaDardová:
Nechápu, co chceš. 'Určit dolní ohraničení' znamená co? Bavíme se o stejné věci?

Definice: $\mathcal{P}=(P,\leq)$ uspořádaná množina, $A\subseteq P$ , $p\in P$ .
Řekneme, že $p$ je dolním ohraničením $A$ (v usp.mn. $\mathcal{P}$ ), právě když $\forall a \in A:\:p\leq a$ .

KateřinaDardová · 26. 11. 2013 13:17

Ano, v Hasseově diagramu mi to nedělá problém určit, ale v těch důkazech to nějak nevidím...

Andrejka3 · 26. 11. 2013 13:59

↑ KateřinaDardová:
:) Nerozumím spojení slov: určit dolní ohraničení. Znamená to najít množinu všech dolních ohraničení dané množiny? Nebo jen ověřit, zda daný prvek je dolním ohraničením dané množiny?

Dejme tomu, že chceš dokázat, že
$(a\wedge c)\vee (b\wedge d)\le (c\vee d)$
Tak stačí dokázat platnost jednoho ze dvou výroků:
1) $[(a\wedge c)\vee (b\wedge d)]\wedge (c\vee d) = (a\wedge c)\vee (b\wedge d)$ nebo
2) $(a\wedge c)\vee (b\wedge d)\vee (c\vee d)=(c\vee d)$ .
Ty jsou ekvivalentni (viz ↑ Andrejka3:).
2) se dokáže využitím vlastností svazu (asociativita a komutativita $\vee$ a absorpce). Odpovídám na Tvou otázku?

KateřinaDardová · 26. 11. 2013 16:02

↑ Andrejka3:
Nejde mi o samotné dokazování, to chápu, ale máme tam potom napsat z čeho ten důkaz vyplývá (z vlastností infima) tedy označit v důkazu infimum a dolní ohraničení. Podívej se na #6.
Jediné, co nevím jak zjistit je dolní ohraničení množiny $\{a\vee b,c\}$ .

Andrejka3 · 26. 11. 2013 16:37

↑ KateřinaDardová:
Nerozumím příspěvku číslo 6. Nerozumím slovnímu spojení 'určit dolní ohraničení množiny'. Nerozumím, jak může člověk chápat důkaz a neumět napsat z čeho vyplývá a navíc nevím, co má znamenat 'důkaz vyplývá z...'
Kdybys napsala, čistě matematicky, co přesně chceš, možná budu umět pomoci. Takhle totálně tápu asi od příspěvku #6.
Prosím, jestli to někdo čte a umí na to reagovat, prosím, pomozte. Já to asi vzdávám.

Matematické Fórum

#1 24. 11. 2013 09:12

Důkaz platnosti tvrzení (svaz, supremum, infimum)

#2 24. 11. 2013 15:34

Re: Důkaz platnosti tvrzení (svaz, supremum, infimum)

#3 25. 11. 2013 08:25

Re: Důkaz platnosti tvrzení (svaz, supremum, infimum)

#4 25. 11. 2013 08:27

Re: Důkaz platnosti tvrzení (svaz, supremum, infimum)

#5 25. 11. 2013 10:12 — Editoval Andrejka3 (25. 11. 2013 10:32)

Re: Důkaz platnosti tvrzení (svaz, supremum, infimum)

#6 25. 11. 2013 11:40

Re: Důkaz platnosti tvrzení (svaz, supremum, infimum)

#7 25. 11. 2013 13:35

Re: Důkaz platnosti tvrzení (svaz, supremum, infimum)

#8 25. 11. 2013 14:18

Re: Důkaz platnosti tvrzení (svaz, supremum, infimum)

#9 25. 11. 2013 19:32

Re: Důkaz platnosti tvrzení (svaz, supremum, infimum)

#10 25. 11. 2013 21:23

Re: Důkaz platnosti tvrzení (svaz, supremum, infimum)

#11 25. 11. 2013 21:53 — Editoval Andrejka3 (25. 11. 2013 21:53)

Re: Důkaz platnosti tvrzení (svaz, supremum, infimum)

#12 26. 11. 2013 13:17

Re: Důkaz platnosti tvrzení (svaz, supremum, infimum)

#13 26. 11. 2013 13:59

Re: Důkaz platnosti tvrzení (svaz, supremum, infimum)

#14 26. 11. 2013 16:02

Re: Důkaz platnosti tvrzení (svaz, supremum, infimum)

#15 26. 11. 2013 16:37

Re: Důkaz platnosti tvrzení (svaz, supremum, infimum)

Zápatí