Matematické Fórum

Lukexr · 25. 11. 2013 21:16

Zdravím, potřeboval bych pomoct s následujícím zadáním
//forum.matweb.cz/upload3/img/2013-11/08873_ma.jpg
Funkci hustoty jsem odvodil takto $h(x,y,z) := a^2-z^2$
Potom jsem se sekl u parametrizace, napadlo mě využít sférických souřadnic, ale vektorový součin a norma pak špatně vycházela.. Budu rád za každou radu :)

jelena · 26. 11. 2013 09:34

Zdravím,

nebude více přehlednější, pokud ve funkci hustoty nahradíš $z^2=a^2-x^2-y^2$ , což dává $h(x,y,z) := x^2+y^2$ , jinak nějaký možný zádrhel zatím nevidím. Zkus možná rozepsat, kde byl problém s převodem do sférických. Děkuji.

Lukexr · 26. 11. 2013 13:12 — Editoval Lukexr (26. 11. 2013 13:13)

jelena napsal(a):
Zdravím,

nebude více přehlednější, pokud ve funkci hustoty nahradíš $z^2=a^2-x^2-y^2$ , což dává $h(x,y,z) := x^2+y^2$ , jinak nějaký možný zádrhel zatím nevidím. Zkus možná rozepsat, kde byl problém s převodem do sférických. Děkuji.

Díky za úpravu té funkce :) Substituci jsem udělal takto:
$x=a*cos(u)*cos(v)$
$y=a*sin(u)*cos(v)$
$z = a*sin(v)$
$(u,v) \in <0,2\pi>*<0,\pi/2>$
Potom
$\psi(u,v):=(a*cos(u)*cos(v),a*sin(u)*cos(v),a*sin(v))$
$\frac{\partial \psi(u,v)}{\partial u } = (-a*sin(u)*cos(v),a*cos(u)*cos(v),0)$
$\frac{\partial \psi(u,v)}{\partial v } = (-a*cos(u)*sin(v),-a*sin(u)*sin(v),a*cos(v)$
Pak jsem udělal vektorový součin a normu a vycházelo to špatně. Ale neznám úplně postup pro výpočet těžiště, takže možná dělám některé kroky navíc. Počítám projekt trochu dopředu a vycházím pouze ze skript, takže, mi to není úplně jasné..
//forum.matweb.cz/upload3/img/2013-11/67811_huee.jpg

Brzls · 26. 11. 2013 18:46 — Editoval Brzls (26. 11. 2013 18:47)

Zdravím
Zatím postupuješ dobře. Mě osobně součin i norma vycházejí pěkně, takže zádrhel bude zřejmě tam. KDyž sem napíšeš, jak si postupoval tak určitě někdo tu chybu najde

Lukexr · 26. 11. 2013 22:31 — Editoval Lukexr (27. 11. 2013 11:46)

↑ Brzls:
Tak výpočet jsem měl správně, jen jsem to nevhodně upravoval. Norma mi vyšla
$a^2*cos(v)$
takže pokud
$h(x,y,z):=x^2+y^2$ a $\psi(u,v):=(a*cos(u)*cos(v),a*sin(u)*cos(v),a*sin(v))$

pak (omlouvám se za zápis)
$\int\int_{}^{} h(x,y,z)d\sigma = \int\int_{}^{} h(\psi (u,v))*a^2*cos(v)du dv = \int\int_{}^{} (a^2*cos^2(v)*a^2*cos(v)du dv$
takže
$\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{2\pi} a^4*cos^3(v) du dv=4/3\pi*a^4$
což je hmotnost plochy.
Ale teď si nejsem jistý jak interpretovat $\int\int x*h(x,y,z) d\sigma$ pro výpočet dané souřadnice..

jelena · 27. 11. 2013 10:35

↑ Lukexr:

Zdravím,

je třeba kontrolovat i hmotnost plochy, nebo jen

Ale teď si nejsem jistý jak interpretovat $\int\int x*h(x,y,z) d\sigma$ pro výpočet dané souřadnice..

Je to vzorec pro jeden ze statických momentů, co ještě potřebuješ pro výpočet, místo $h(x,y,z)$ je pořád $x^2+y^2$ , tedy $\int\int x(x^2+y^2) d\sigma$ , obdobně další 2 momenty jak máš v odkazu. Jelikož hustota je rozložena symetricky a plocha je symetrická, tak souřadnice těžiště x, y bych čekala 0. Vyhází tak? Děkuji.