Matematické Fórum

ygg81 · 26. 11. 2013 19:04

Ahojte, potrebovala by som poradiť s riešením príkladu - máme zistiť, pre aké n, k platí vzťah:
$2^{n} = a^{k} +1$
Nápoveda bola, že si treba pravú stranu upraviť pomocou vzorca.
Tak som riešila:
$2^{n} = (a + 1) (a^{k-1}-a^{k-2}+a^{k-3}-... +1)$
No a ďalej akosi neviem. Uvažujem len nad tým, že tá zátvorka (a+1) musí byť tiež mocninou 2. Ale so zvyškom neviem pohnúť.
Vopred dík za pomoc.

jelena · 26. 11. 2013 21:32

Zdravím,

možná by schůdnější bylo použit obdobný vzorec, jak jsi použila, ale na levou stranu po přepisu $2^{n}-1 = a^{k}$ . Vede to někam? Děkuji.

ygg81 · 27. 11. 2013 18:59

No neviem, skúšala som riešiť i tak a tiež ma to ďalej neposunulo.

$2^{n}-1 =a^{k}$
$(2-1)(2^{n-1}+2^{n-2}+...+2^{1}+1) =a^{k}$
$2^{n-1}+2^{n-2}+...+2^{1}+1 =a^{k}$

To naľavo vyzerá ako súčet prvých n členov geometrickej postupnosti, ale keď som to skúsila prepísať pomocou vzorca, znova som dostala $2^{n}-1$

jelena · 27. 11. 2013 22:08

↑ ygg81:

bohužel, vidím jen obdobnou úvahu, jak jsi měla: $a^{k} +1$ musí být sudé číslo (předpokládám, že a, n, k jsou přirozená a 0 se neuvažuje). Řešení pro k=1 asi není zajímavé.
Další možnost je ještě pokračovat v přepisu pravé strany dle vzorce po přesunu 1 doprava $2^{n-1}+2^{n-2}+...+2^{1}=a^{k}-1$ , zda se něco neuvidí, ale nevidím. Doufejme, že téma bude povšimnuto od kolegů a něco doporučí. Děkuji.

Honzc · 28. 11. 2013 10:16

↑ ygg81:
Z jaké množiny mají být n,k?
Pokud to mají být přirozená čísla, pak řešním, myslím, jsou:
1. $k\in N,n=1,a=1$
2. $k=1,n\in N,a=2^{n}-1$
Jiná řešení být nemohou, protože má-li být $k=\frac{\ln (2^{n}-1)}{\ln a},k\in N-\{1\}$ , pak protože přirozený logaritmus jiného čísla než 1 je iracionální číslo a podíl dvou nesoudělných iracionálních čísel je taktéž iracionální číslo.

ygg81 · 01. 12. 2013 09:57

Dakujem za pomoc, vyzera, ze by to tak mohlo byt.

Matematické Fórum

#1 26. 11. 2013 19:04

Riešenie rovnice [mathjax]2^{n} = a^{k} +1[/mathjax]

#2 26. 11. 2013 21:32

Re: Riešenie rovnice [mathjax]2^{n} = a^{k} +1[/mathjax]

#3 27. 11. 2013 18:59

Re: Riešenie rovnice [mathjax]2^{n} = a^{k} +1[/mathjax]

#4 27. 11. 2013 22:08

Re: Riešenie rovnice [mathjax]2^{n} = a^{k} +1[/mathjax]

#5 28. 11. 2013 10:16

Re: Riešenie rovnice [mathjax]2^{n} = a^{k} +1[/mathjax]

#6 01. 12. 2013 09:57

Re: Riešenie rovnice [mathjax]2^{n} = a^{k} +1[/mathjax]

Zápatí