Matematické Fórum

emuel · 26. 11. 2013 12:45

"Najdi všechny aritmetické posloupnosti, pro které platí, že:
Poměr součtu n členů k součtu za nimi následujících kn členů je nezávislý na čísle n."

$\frac{S_{n}}{S_{kn}-S_{n}}$

Ze vzorce vyplývá, že to určitě je posloupnost $a_{n}=a_{1}$

Má tato úloha ještě jiná řešení?

Rumburak · 26. 11. 2013 15:54

Máš tam, myslím, chybu v úvaze.
Jestliže $S_n$ je součet "prvních" $n$ členů, potom $S_{kn}$ je součet "prvních" $kn$ členů,
takže $S_{kn} - S_n$ je součet pouze $kn - n$ členů následujících za $a_n$ .

emuel · 26. 11. 2013 17:20

Máš naprostou pravdu; jestli se zase nepletu, tak by to mělo vypadat:

$\frac{S_{n}}{S_{kn+n}-S_{n}}$

nicméně netuším, jak dál upravovat

$\frac{2a_{1}+(n-1)d}{(k+1)[2a_{1}+(kn+n-1)d]-(2a_{1}+(n-1)d)}$

Rumburak

↑ emuel:

Možnou cestu jen naznačím. Vyšel bych z rovnice

(1) $\frac{S_{n}}{S_{kn+n}-S_{n}} = P$

která má být splněna pro každé přirozené číslo $n$ , při čemž $P$ má být nějaká neznámá konstanta nezávislá na $n$
(ale závislá nejspíš na $k$ ). Úpravou rovnice (1) dostaneme

$S_{n} = P(S_{kn+n}-S_{n})$ ,

nyní bych použil vzorec $S_m = \frac{m}{2}(a_1 + a_m)$ , s nímž se možná pracuje pohodlněji, tedy

$\frac{n}{2}(a_1 + a_n) = P$\frac{kn+n}{2}(a_1 + a_{kn+n})- \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$ .

To bych upravil na nějaký jednodušší tvar a pak bych dosadil $a_m = a_1 + (m-1)d$ plus další úpravy.
Celkem bychom měli dospět k podmínce tvaru

(2) $0 = f(P,k)n^2 + g(P,k)n + h(P,k)$ ,

platné pro každé přirozené číslo $n$ , při čemž $f(P,k), g(P,k), h(P,k)$ budou funkce proměnných $P, k$ .
Tato podmínka vede k soustavě rovnic

$f(P,k) = 0, g(P,k) = 0 , h(P,k) = 0$ .

Zajímají nás pouze taková její řešení, při nichž jmenovatel zlomku v rovnici (1) je nenulový.

EDIT. Také se nabízí možnost pro $P \ne 0$ vyjádřit z (1)

(3) $S_{kn+n} = Q S_n$ ,

kde $Q = 1 + \frac{1}{P}$ , a pracovat s rovnicí (3).