Matematické Fórum

studentka111 · 27. 11. 2013 21:37

Dobrý den, potřebovala bych poradit jak naložit s mým výsledkem, aby mi pokud možno vyšlo to, co má. Zadání: $y^{´}\sin x-y\cos x=\mathrm{e}^{x}\sin ^{2}x$ a $y(\frac{\pi }{2})=0$ . Mně vyšlo že se $y=\mathrm{e}^{x}|sinx|$ a z toho jsem ještě udělala, že $y=\mathrm{e}^{x}\sin x-\mathrm{e}^{x}\sin x$ . A správně má vyjít $y=\mathrm{e}^{x}\sin x-\mathrm{e}^{\frac{\pi }{2}}\sin x$ . Děkuji za radu ;)

studentka111 · 27. 11. 2013 21:43

zadání je y´ $\sin x-y\cos x=\mathrm{e}^{x}\sin ^{2}x$ . To y´ k tomu patří taky, jen mi to nejde nějak zobrazit.

kaja.marik

Jake ze Vam vyslo obecne reseni? Me $(e^x+C)\sin(x)$ . Mate taky takove? Co presne znamena "z toho jsem udelala"?

studentka111 · 27. 11. 2013 22:14

jen to sinx mám v absolutní hodnotě a protože je v absolutní hodnotě, tak by se tam měla objevit jak kladné, tak záporné, tak to znamená, že jsem z toho udělala $y=\mathrm{e}^{x}\sin x-\mathrm{e}^{x}\sin x$

studentka111 · 27. 11. 2013 22:18

řešila jsem to pomocí lineárního řešení

kaja.marik

studentka111 napsal(a):
jen to sinx mám v absolutní hodnotě a protože je v absolutní hodnotě, tak by se tam měla objevit jak kladné, tak záporné, tak to znamená, že jsem z toho udělala $y=\mathrm{e}^{x}\sin x-\mathrm{e}^{x}\sin x$

$y=\mathrm{e}^{x}\sin x-\mathrm{e}^{x}\sin x = 0$ , tj. udelala jste z te funkce nulu. Prijde Vam to jako spravna uprava? Opravdu plati pro vsechna x rovnost $e^x|\sin x|=0$ ?

Obecnym resenim linearni DR je neco co obsahuje konstantu. Jak Vam to vyslo?

řešila jsem to pomocí lineárního řešení

Tj. resila jste to jako linearni diferencialni rovnici prvniho radu? To je asi spravne. Potom Vam melo vyjit obecne reseni takove jako me. Mozna s absolutni hodnotou, ale te se zbavime pomoci pocatecni podminky $x=\frac \pi 2$ . Zkuste sem dat postup, jak to resite.

studentka111 · 28. 11. 2013 12:12

$\text{y´}=\frac{\mathrm{e}^{x}\sin ^{2}x+y\cos x}{\sin x}=\mathrm{e}^{x}\sin x+\frac{\cos x}{\sin x}y$
$\text{u´}=\frac{\cos x}{\sin x}u$
$\int_{}^{}\frac{1}{u}=\int_{}^{}\frac{\cos x}{\sin x}dx$
$\ln |u|=\ln |\sin x|+\ln |c|$
$u=c|\sin x|$
$y=c(x)\sin x$
$\text{y´}=\text{c´}\sin x+c\cos x$
$\text{c´}=\mathrm{e}^{x}$
$c=\mathrm{e}^{x}$
$y=\mathrm{e}^{x}|\sin x|$

Tomas.P · 28. 11. 2013 12:39

↑ studentka111:
Ahoj, když to budeš řešit jako lineární diferenciální rci 1.řádu, tak se k výsledku dobereš. Děkuji za pochopení

kaja.marik · 28. 11. 2013 12:42

To jsou nahazene vzorce, jestli z toho vidite, ze obecne reseni je $(e^x+C)|\sin(x)|$ tak si reknete, ze hledame reseni v okoli pocatecni podminky a tam je sinus kladny a potom normalne dosadte pocatecni podminku.

Anebo to pripadne znamenko z absolutni hodnoty zahrnte do konstanty c v patem vyrazu a potom tam taky nebude.

to jak se prejde od ctvrteho k patemu vyrazu take neni uplne jasne. Presneji - proc se ze tri absolutnich hodnot dve ztrati a jedna zustane?

Tomas.P · 28. 11. 2013 13:13

↑ studentka111:
Nerozumím..., kdyby v tom byly nějaké nesrovnalosti, tak se ptej. Předem děkuji za odpověď

studentka111 · 28. 11. 2013 13:16

takže když bude výsledek $y=(\mathrm{e}^{x}+c)\sin x$ a dosadím tam tu podmínku, tak by potom vyšlo, že se $c=-\mathrm{e}^{\frac{\pi }{2}}$ a to už by byl ten výsledek, že se $y=\sin x(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{\frac{\pi }{2}})$

Tomas.P · 28. 11. 2013 13:18

↑ studentka111:
↑ kaja.marik: je offline, tak si dovolím odpovědět za něj: Ano.

Tomas.P

↑ studentka111:
Ahoj, jestli je to stále aktuální, tak bych to ve zkratce řešil takto:
1. úprava diferenciální rce: (1) $y'+\left(-\frac{cos(x)}{sin(x)}\right)y=e^{x}sin(x)$ , z toho $a(t)=-\frac{cos(x)}{sin(x)}$
2. po integraci členu a(t) a jeho dosazení do exponentu vychází: (2) $e^{\int{a(t)}}=\frac{1}{sin(x)}$
3. úprava (1) roznásobením výrazem (2): (3) $\left(y\cdot \frac{1}{sin(x)}\right)'=e^{x}$
4. rci (3) nyní zintegrujeme a dostaneme: (4) $y\cdot \frac{1}{sin(x)}=e^{x}+C\Rightarrow y=(e^{x}+C)sin(x)$
5. následuje dosazení počátečních podmínek do (4): viz. příspěvek #16
P.S.: bod 3 je podrobně popsán ve skriptech. Děkuji za pochopení

studentka111 · 30. 11. 2013 20:00

Ještě mi není jasné jak se dostanu k tomuto výsledku? $\mathrm{e}^{\int_{}^{}\frac{1}{t}dt}=t$
První krok ještě chápu, že se $\mathrm{e}^{\ln |t|}=t$ a dál nevím.

studentka111 · 30. 11. 2013 20:01

jako že chápu tu první půlku před rovná se

Tomas.P

↑ studentka111:
Vysvětlím, integrál $\int-\frac{1}{t}=-ln(t)$ je jasný, pokud ano, tak po zapsání do exponentu to vychází na $e^{-ln(t)}=\frac{1}{e^{ln(t)}}=\frac{1}{t}$ , kde $t=sin(x)$ , stačí to tak? Předem děkuji za odpověď

studentka111 · 30. 11. 2013 20:26

Ano děkuji. A ještě bych se chtěla zeptat, podle čeho se pozná lineární a nelineární diferenciální rovnice?

Tomas.P

↑ studentka111:
Ahoj, k tomu jsem našel tento článek: Linear vs. Non-linear, tak snad to bude k užitku.
P.S.: věta "power of the one", popř. "first power" vztahující se k proměnné x v článku výše znamená, že proměnná x je umocněná na prvou, což se rovná $x$ , pak se jedná o lineární diferenciální rci. Děkuji za pochopení

Matematické Fórum

#1 27. 11. 2013 21:37

Obyčejné diferenciální rovnice

#2 27. 11. 2013 21:39 Příspěvek uživatele studentka111 byl skryt uživatelem studentka111.

#3 27. 11. 2013 21:40 Příspěvek uživatele studentka111 byl skryt uživatelem studentka111.

#4 27. 11. 2013 21:41 Příspěvek uživatele studentka111 byl skryt uživatelem studentka111.

#5 27. 11. 2013 21:43

Re: Obyčejné diferenciální rovnice

#6 27. 11. 2013 22:01 — Editoval kaja.marik (27. 11. 2013 22:02)

Re: Obyčejné diferenciální rovnice

#7 27. 11. 2013 22:14

Re: Obyčejné diferenciální rovnice

#8 27. 11. 2013 22:18

Re: Obyčejné diferenciální rovnice

#9 27. 11. 2013 23:10 — Editoval kaja.marik (27. 11. 2013 23:11)

Re: Obyčejné diferenciální rovnice

studentka111 napsal(a):

#10 28. 11. 2013 12:12

Re: Obyčejné diferenciální rovnice

#11 28. 11. 2013 12:39

Re: Obyčejné diferenciální rovnice

#12 28. 11. 2013 12:42

Re: Obyčejné diferenciální rovnice

#13 28. 11. 2013 13:04 Příspěvek uživatele studentka111 byl skryt uživatelem studentka111.

#14 28. 11. 2013 13:05 Příspěvek uživatele studentka111 byl skryt uživatelem studentka111.

#15 28. 11. 2013 13:13

Re: Obyčejné diferenciální rovnice

#16 28. 11. 2013 13:16

Re: Obyčejné diferenciální rovnice

#17 28. 11. 2013 13:18

Re: Obyčejné diferenciální rovnice

#18 30. 11. 2013 18:19 — Editoval Tomas.P (30. 11. 2013 18:30)

Re: Obyčejné diferenciální rovnice

#19 30. 11. 2013 20:00

Re: Obyčejné diferenciální rovnice

#20 30. 11. 2013 20:01

Re: Obyčejné diferenciální rovnice

#21 30. 11. 2013 20:17 — Editoval Tomas.P (30. 11. 2013 20:19)

Re: Obyčejné diferenciální rovnice

#22 30. 11. 2013 20:26

Re: Obyčejné diferenciální rovnice

#23 30. 11. 2013 21:05 — Editoval Tomas.P (30. 11. 2013 21:25)

Re: Obyčejné diferenciální rovnice

Zápatí