Matematické Fórum

Freedy · 27. 11. 2013 15:05

Dobrý den, pokouším se počítat soustavy jednoduchý lineárních rovnic o 4 neznámých přes matice a nějak se zadrhávám při výpočtu determinantu.
Potřebuju vypočítat determinant matice:
$det\begin{bmatrix} 2&-3&1&2\\ 3&1&-2&-1\\ 4&-2&-3&-2\\ 1&2&3&-2 \end{bmatrix} =$
Začal jsem s úpravou že jsem si hodil první řádek nahoru a změnil znaménko determinantu:
$-det\begin{bmatrix} 1&2&3&-2\\ 3&1&-2&-1\\ 4&-2&-3&-2\\ 2&-3&1&2 \end{bmatrix} =$

A začal normálně upravovat. Takže od druhého řádku jsem odečetl trojnásobek prvního. Od třetího čtyřnásobek prvního a od poslední dvojnásobek prvního:
$-det\begin{bmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&-5&-11&5\\ 0&-10&-15&6\\ 0&-7&-5&6 \end{bmatrix} =$
a analogicky odečetl dvojnásobek druhého od třetího a sedminásobek druhého od pětinásobku čtvrtého:
$-det\begin{bmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&-5&-11&5\\ 0&0&-7&-4\\ 0&0&52&-12 \end{bmatrix} =$
a na závěr 52ti násobek třetího od 7mi násobku čtvrtého:
$-det\begin{bmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&-5&-11&5\\ 0&0&7&-4\\ 0&0&0&124 \end{bmatrix} =$
a determinant matice rozhodně nevychýzí tak jak uvádí například wolfram. Mohl by mi někdo říct kde mám chybu(y) ?

gadgetka

Já bych nenulovala, ale rovnou počítala (viz sekce vysoká škola, téma matice v absolutní hodnotě)... ;)
P.S. Já už to totiž jinak neumím... :D

Freedy · 27. 11. 2013 16:05

Někdo nějaký nápad?

jelena · 27. 11. 2013 16:21

↑ Freedy:

Zdravím,

řekla bych, že jen nepozornost při užití 1. bodu vlastností determinantu - viz hlavní web, skoro dole. V pořádku? Děkuji.

vanok · 27. 11. 2013 16:36

Musis si uvedomit ze tebou pouzita metoda ti nemoze dat nic ine ako hodnost tvojej matice

Ak ju chces pouzit na vypocet det., musis vediet ze déterminant je multilinearna forma, cize musis vediet ze kazde nasobenie v upravach meni aj hodnotu detetmenantu.
Napr pouzitie trojnasobku jedneho riadku znamena ze si urobil aj zmenu aj na det. (aku?)....

Freedy · 27. 11. 2013 19:32

Fiha... To jako když odečtu trojnásobek prvního řádku od dvojnásobku druhýho. Tak mám napsat co před determinant? Tam v tom odkaze sem to právě hledal a podle toho sem to dělal. A v daném tématu se vytkla polovina jen když se vynásobil druhý řádek dvojkou a to bylo vše. Nic víc už se neměnilo. Jaksi mi to nedává vůbec smysl. Všude je to udělaný tak megastručně že se z toho nedá skoro nic pochopit

LukasM · 27. 11. 2013 19:47

↑ Freedy:
V tomhle vlákně jsem o tom něco psal.

Ano, když odečteš trojnásobek prvního od dvojnásobku druhýho, a výsledek té operace napíšeš na místo druhého řádku, zdvojnásobil jsi hodnotu determinantu. Takže před determinant napiš jednu polovinu, aby se to jako celek nezměnilo.

Freedy · 27. 11. 2013 21:29

Děkuji, už to vyšlo. :) Konec konců, je zbytečné počítat středoškolské soustavy přes matice. zde to vážně není potřeba a je to zdlouhavý

LukasM · 27. 11. 2013 23:14

↑ Freedy:
Problém není až tak to "přes matice", ale to žes zvolil (zřejmě) Cramerovo pravidlo, které je opravdu celkem na prd. Kdybys místo toho sestavil celou matici soustavy a provedl GEM, tak bys udělal stejné úpravy jako jsi udělal plus několik málo navíc, a měl bys řešení pro všechny čtyři neznámé. Řekl bych že kratší způsob ani nenajdeš.

Při použití Cramerova pravidla bys ale pro všechny neznámé potřeboval počítat pět determinantů řádu 4, což není moc sexy představa.

Freedy · 27. 11. 2013 23:33

A jak je ten GEM? Můžeš mi ho názorně ukázat?

Freedy · 27. 11. 2013 23:58

jinak ta soustava vypadá takto:

$2x-3y+z+2u=0$
$3x+y-2z-u=6$
$4x-2y-3z-4u=-6$
$x+2y+3z-2u=-7$

LukasM · 28. 11. 2013 09:57

↑ Freedy:
GEM je Gaussova eliminační metoda. V podstatě je to jen inteligentně použitá "sčítací metoda" známá ze střední školy. Jde o to, že od každé rovnice postupně odčítám takové násobky jiných rovnic, abych postupně eliminoval jednotlivé neznámé.

Představ si ten svůj postup co jsi udělal, ale s tím, že tam není determinant, ale pouze koeficienty u těch proměnných a pravá strana v jedné matici (to proto, že není nijak důležité pořád dokola opisovat x,y,z,u, stačí si pamatovat pořadí). Tvá první úprava je přehození rovnic. Ve druhé úpravě jsi od 2.,3. a 4. rovnice odečetl takový násobek první, (to můžeš, viz sčítací metoda - rovnice která takhle vznikne jistě platí) aby ses zbavil neznámé x. V tu chvíli zapomeneš na první rovnici a uděláš totéž s těmi třemi. Tedy od 3. a 4. odečteš takový násobek druhé, aby ses zbavil y. A nakonec od poslední odečteš takový násobek třetí, aby ses zbavil z. Takže jsi soustavu upravil na nějaký takovýhle tvar (tzv. horní stupňovitý tvar, píšu matici soustavy, ale jen proto že je to hezčí):
$\begin{pmatrix} \begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & -2 & a\\ 0 & -5 & -11 & 5 & b\\ 0 & 0 & -7 & -4 & c\\ 0 & 0 & 0 & -1 & d\\ \end{array} \end{pmatrix}$

Čísla a,b,c,d jsou nějaká čísla ke kterým se dopočítáš, když budeš od začátku upravovat celou matici soustavy včetně pravé strany, nechce se mi je teď dopočítávat (navíc v té soustavě cos napsal se jeden koeficient liší od toho tvého determinantu, takže nechci hádat zadání, přesná čísla si spočítej). No, a teď je to už jednoduché. Z poslední rovnice vyjídříš u. Dosadíš ho do třetí, dopočítáš z. Obě dosadíš do druhé, dopočítáš y. Všechny tři do první, dopočítáš x.

Takhle se k tomu výsledku nakonec dostaneš asi rychleji než na SŠ. Nebo nevím jak vy, ale my jsme na SŠ řešili jen soustavy dvou rovnic, a když se tu a tam řešila soustava 3 rovnic pro tři neznámé, vždycky nám učitelka řekla že když odsuď vyjádřím tohle a sečtu s tímhle, tak vykoukám hodnotu jedné neznámé. No jo, ale jak to mám hledat u soustavy 5x5? GEM je naproti tomu strojovej postup, není tam co zkazit (maximálně vycházejí hnusná čísla). Také hned po úpravě je vidět jestli má soustava řešení, případně jaká je jeho dimenze. To už tu nebudu rozebírat, kdyžtak googli "Frobeniova věta".

Freedy · 28. 11. 2013 14:03

Dobře, tohle je vlastně ale pouhé řešení jako kdybych to dělal s rovnicema, jen si to přepíšu do matice a nepíšu tam otravné x y z u. Já hledal způsob jak efektivněji (rychleji) spočítat soustavu n rovnic o n neznámých, a nepoužívat k tomu zažité středoškolské způsoby.

vanok · 28. 11. 2013 14:09

Ahoj
Tu mas jednu kalkulacku na matice
http://www.bluebit.gr/matrix-calculator/

Moze to byt uzitocne na kontrolu.

LukasM · 29. 11. 2013 08:57

Freedy napsal(a):
jako kdybych to dělal s rovnicema

No, ale pokud chceš řešit soustavu rovnic, težko čekat že s rovnicema nebudeš nic dělat:-)

Síla GEM není v tom že to píšeš do matice, ale v tom algoritmu jako takovém. Efektivní je to dost, pokud to máš zažité už ze SŠ, tak jen dobře (já jsem to tak neměl). Pro velké soustavy třeba 10000x10000 se můžou víc hodit jiné metody, ale to už stejně není na ruční počítání.

Matematické Fórum

#1 27. 11. 2013 15:05

determinant matice

#2 27. 11. 2013 15:14 — Editoval gadgetka (27. 11. 2013 15:14)

Re: determinant matice

#3 27. 11. 2013 16:05

Re: determinant matice

#4 27. 11. 2013 16:21

Re: determinant matice

#5 27. 11. 2013 16:36

Re: determinant matice

#6 27. 11. 2013 19:32

Re: determinant matice

#7 27. 11. 2013 19:47

Re: determinant matice

#8 27. 11. 2013 21:29

Re: determinant matice

#9 27. 11. 2013 23:14

Re: determinant matice

#10 27. 11. 2013 23:33

Re: determinant matice

#11 27. 11. 2013 23:58

Re: determinant matice

#12 28. 11. 2013 09:57

Re: determinant matice

#13 28. 11. 2013 14:03

Re: determinant matice

#14 28. 11. 2013 14:09

Re: determinant matice

#15 29. 11. 2013 08:57

Re: determinant matice

Freedy napsal(a):

Zápatí