Matematické Fórum

StupidMan

mam dokazat ze je to geometricke posloupnost

...........

a ted bych potreboval poradit jak vypocitam q?

lukaszh · 23. 01. 2009 17:35

↑ StupidMan:
Kvocient vypočítaš podielom dvoch po sebe idúcich členov geometrickej postupnosti:
$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}$

Marian · 23. 01. 2009 17:42 — Editoval Marian (23. 01. 2009 17:42)

↑ StupidMan:

Jednodušeji snad takto:

Musí platit (podle toho, co napsal lukaszh)
$q=\boxed{\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}.}$
Znáš a_1, a_2 i a_3. Vyčísli tedy uvedené zlomky a porovnej je (bude třeba usměrnit). Pokud se hodnoty těchto dvou zlomků rovnají, jedná se o tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti s kvocientem q a prvním členem a_1.

StupidMan

↑ Marian:
takze kdyz a tak to nebude geometricke posloupnost

lukaszh · 23. 01. 2009 18:50

↑ StupidMan:
Ale to sú rovnaké čísla.

mikee · 23. 01. 2009 18:58

↑ StupidMan:
No podiel prvých dvoch členov už máš vyjadrený ako $q_1 = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$ . Teraz si podobne vyjadríš $q_2 = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ a ak ukážeš, že $q_1 = q_2$ , tak číslo $q = q_1 = q_2$ je kvocient geometrickej postupnosti, ktorej prvé tri členy sú zadané, čiže tým by si dokázal, že postupnosť je naozaj geometrická.
Možno máš problém s dokázaním, že $q_1 = q_2$ , tak Ti trochu poradím. Ako už naznačil marian, zlomky usmerníme, teda odstránime odmocniny z menovateľa. Používa sa na to taký trik, že ak zlomok $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$ vynásobíme zlomkom $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$ , tak jeho hodnota sa nezmení (lebo ten druhý zlomok sa rovná 1), ale dostaneme zlomok $\frac{\sqrt{3} \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})}$ , kde po použití vzorca $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ dostaneme v menovateli číslo 3, čím sme sa zbavili odmocnín. Skús tento trik použiť aj na výpočet $q_2$ a myslím, že nebudeš mať problém dokázať, že postupnosť je geometrická :)

StupidMan · 23. 01. 2009 19:16

jen pro jistotu jestli sem to nevypocital spatne. tak mi vyslo a

mikee · 23. 01. 2009 19:45 — Editoval mikee (23. 01. 2009 19:46)

Ešte raz si to skontroluj, pri výpočte $q_1$ si sa musel pomýliť :) Totiž ono vyjde, že $q_1 = q_2$ a že postupnosť je naozaj geometrická.

StupidMan · 23. 01. 2009 19:59

↑ mikee:
jej omlouvam se uz sem nasel chybu

mikee · 23. 01. 2009 20:08

Tipujem, že si použil "vzorec" $(a+b)(a-b) = a^2 + b^2$ . Mám pravdu? :))

Marian · 24. 01. 2009 11:25

Měl bych jednu teoretickou připomínku technického charakteru. Totiž v zadání příspěvku nebyly dány přesnější parametry dané posloupnosti. Nikde není řečeno, že tato posloupnost je nekonečná geometrická. Z toho co je zadáno si dovoluji pouze tvrdit, že jednoznačně je dána posloupnost, která je geometrická a má pouze tři členy. Kdo tady hovořil o tom, jak vypadá člen a_4 nebo případně další? Tedy chci upozornit, že jsem pouze dokázali, že prvky a_1, a_2 a a_3 tvoří geometrickou posloupnost o třech členech {a_1, a_2, a_3} nebo popřípadě, že tyto tři prvky jsou členy geometrické posloupnosti (ať konečné nebo nekonečné) s kvocientem q, který již byl spočten dříve.

mikee · 24. 01. 2009 12:21

↑ Marian:
Máš samozrejme pravdu, ja by som napríklad zadanie formuloval ako "Dokážte, že existuje geometrická postupnosť, ktorej prvé tri členy sú...". Ak by nám vyšiel podiel prvých dvoch členov rôzny ako podiel druhého a tretieho, tak určite geometrická postupnosť s takýmito prvými členmi neexistuje. Keď nám vyšlo, že podiel sa rovná, tak odpoveď by bola že takáto geometrická postupnosť existuje (zvyšné členy sú jednoznačne určené kvocientom, takže existuje presne toľko takých geometrických postupností, koľko rôznych možností máme pre kvocient, v našom prípade dve).

Marian · 24. 01. 2009 12:30

↑ mikee:
Dokonce se může stát, že jediná geometrická posloupnost má dva nebo i více různých kvocientů. Pak dokonce nemá ani smysl hovořit o zkoumání podílů. Věřím, že si takovou posloupnost všichni dokážeme hned vybavit.

mikee · 24. 01. 2009 12:43

↑ Marian:
Asi máš na mysli nulovú postupnosť :) Tá má ako kvocient zrejme každé reálne číslo a naozaj podiel žiadnych dvoch členov nie je definovaný. Ale geometrická postupnosť, ktorá má práve dva kvocienty, to sa mi nezdá, že by existovala... Nechám sa poučiť :)

Marian · 24. 01. 2009 12:53 — Editoval Marian (24. 01. 2009 12:53)

↑ mikee:
Ano, tato posloupnost je nulová posloupnost 0, tedy {0,0,...,0}, resp. {0,0,0,...}. Nepoužil jsem však spojení právě dva kvocienty. Řekneme-li, že má kvocienty dva, pak to klidně může znamenat i více než tyto dva. Navíc se lehce sporem ukáže, že taková geometrická posloupnost existovat nemůže, tedy s vlastností, že má právě K různých kvocientů, kde $1<K< +\infty$ .

mikee · 24. 01. 2009 12:57

↑ Marian:
Tak potom som to len zle pochopil, prepáč :) S týmto súhlasím :)

Matematické Fórum

#1 23. 01. 2009 17:31 — Editoval StupidMan (23. 01. 2009 18:35)

geometricke poloupnost

#2 23. 01. 2009 17:35

Re: geometricke poloupnost

#3 23. 01. 2009 17:42 — Editoval Marian (23. 01. 2009 17:42)

Re: geometricke poloupnost

#4 23. 01. 2009 18:49 — Editoval StupidMan (23. 01. 2009 18:49)

Re: geometricke poloupnost

#5 23. 01. 2009 18:50

Re: geometricke poloupnost

#6 23. 01. 2009 18:58

Re: geometricke poloupnost

#7 23. 01. 2009 19:16

Re: geometricke poloupnost

#8 23. 01. 2009 19:45 — Editoval mikee (23. 01. 2009 19:46)

Re: geometricke poloupnost

#9 23. 01. 2009 19:59

Re: geometricke poloupnost

#10 23. 01. 2009 20:08

Re: geometricke poloupnost

#11 24. 01. 2009 11:25

Re: geometricke poloupnost

#12 24. 01. 2009 12:21

Re: geometricke poloupnost

#13 24. 01. 2009 12:30

Re: geometricke poloupnost

#14 24. 01. 2009 12:43

Re: geometricke poloupnost

#15 24. 01. 2009 12:53 — Editoval Marian (24. 01. 2009 12:53)

Re: geometricke poloupnost

#16 24. 01. 2009 12:57

Re: geometricke poloupnost

Zápatí