Matematické Fórum

Thomas123 · 28. 11. 2013 21:16

Dobrý den,

mám takový problém s výpočtem limit, nevím, kde dělám chybu (jestli ji vůbec dělám). Mám funkci $f(x) = x^{4}e^{4x}$ , hledám asymptoty se směrnicí $y = kx + q$ .

Mám toto:
$k = \lim_{x\to\infty } \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to\infty }\frac{x^{4}e^{4x}}{x} = \frac{\infty }{\infty } = \lim_{x\to\infty }x^{3}e^{4x} = \infty$
$q = \lim_{x\to\infty }f(x)-kx = \lim_{x\to\infty }x^{4}e^{4x} - kx = \infty - \infty$
Což je neurčitý výraz. Vím, že vzhledem k tomu, že k je nekonečno, tak to vlastně znamená tg(90°), takže by to byla přímka rovnoběžná s osou Y. Průsečík q s osou Y by mohl být žádný (v případě, že by bylo u x nějaké posunutí) nebo nekonečně mnoho (kdyby osa Y byla asymptotou).

1. Má smysl v tomto případě vůbec počítat q nebo bude stačit, když napíšu rovnou, že není asymptota v nekonečnu?

Potom mám ještě toto:
$k = \lim_{x\to-\infty } \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to-\infty }\frac{x^{4}e^{4x}}{x} = \frac{\infty \cdot 0}{-\infty }$
Mohu rovnou "pokrátit" nekonečna tak, aby zbylo 0/(-1)? Potom by výsledek byl 0. To se mi ovšem nezdá a dělal jsem L'Hospitalovo pravidlo - celkem 3x než se dohrabu k výsledku 0.

2. Musím použít L'Hospitalovo pravidlo?

Tak či tak potom musím hledat q:
$q = \lim_{x\to-\infty }f(x)-kx = \lim_{x\to-\infty }x^{4}e^{4x} - kx = \infty \cdot 0 - 0 \cdot \infty$

3. A co teď? Oboje jsou neurčité výrazy, zase by se měl dělat L'Hospital?

Při pohledu na graf je vidět, že bude asymptota v -nekonečnu rovna 0, jiná asi nebude, ne? Mám to dělat početně a při testu nebudu mít šanci kreslit graf, takže graf beru jen jako vodítko ...

Děkuji

Jj · 28. 11. 2013 21:39

↑ Thomas123:

Ano, kromě asymptoty y = 0 v - nekonečnu jiná není.

L'Hospitala můžete použít jen pro neurčité výrazy tvaru $\frac{0}{0}$ nebo $\frac{\infty }{\infty }$ . Čili pro jiné jen v případě, že se na uvedené neurčíté výrazy dají převést.

Mohu rovnou "pokrátit" nekonečna tak, aby ..... - ne, něco takového nepřichází v úvahu.

Matematické Fórum

#1 28. 11. 2013 21:16

Limita - asymptoty se směrnicí

#2 28. 11. 2013 21:39

Re: Limita - asymptoty se směrnicí

Zápatí