Matematické Fórum

MoNi.CZka · 25. 11. 2013 14:04

Prosím o pomoc s tímto příkladem, nevím si s ním rady.
Uspořádejme množinu přirozených čísel relaci u následovně: m u n právě tehdy, když m je sudé a n liché, nebo obě čísla m, n jsou stejné parity a m < n, nebo m = n. Je ordinální číslo této množiny s takto definovaným uspořádáním "omega"? ("omega" je ordinální číslo množiny všech přirozených čísel s přirozeným uspořádáním (podle "velikosti").

Rumburak

Když si zapíšeme přirozená čísla v tomto jejich netradičním uspořádání, dostaneme

(1) $0, 2, 4, 6 , ... , 1 , 3 , 5, 7, ...$ ,

kde kadá z částí

(S) $0, 2, 4, 6 , ...$ ,

(L) $1, 3, 5, 7, ...$

je isomorfní s $\omega$ , supremum části (S) je $1$ . Celek (1) je tedy isomorfní s ordinálním číslem $\omega + \omega$ neboli
(po opravě předchozí chyby) $\omega\cdot 2$ , což NENÍ totéž co $\omega$ .

EDIT. Další zjištění (viz druhý odkaz od kolegy ↑ jarrro:) ukázala, že v otázce definice součinu $\alpha \cdot \beta$ ordinálních
čísel pokud jde o to, jak v něm uplatnit pořadí činitelů, nejsou odborné prameny zajedno. (Že tento součin, má-li
plnit svůj úkol, nemůže být obecně komutativní, je celkem jasné.)

MoNi.CZka · 28. 11. 2013 12:01

STRAŠNĚ MOC DĚKUJI!!!

jarrro · 28. 11. 2013 12:20 — Editoval jarrro (28. 11. 2013 12:26)

↑ Rumburak:ahoj ako je to vlastne s tým poradím činiteľov? lebo na wiki píšu, že
$\omega+\omega=\omega\cdot2\neq2\cdot\omega=\omega$
http://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_ar … iplication

Eratosthenes · 28. 11. 2013 12:29

↑ jarrro:

A co se ti na tom zápisu nezdá? To je přece správně.

MoNi.CZka · 28. 11. 2013 12:38

A chápu to správně, že když m $=$ n tak to s $\omega$ bude?

jarrro · 28. 11. 2013 12:53 — Editoval jarrro (28. 11. 2013 12:54)

↑ Eratosthenes:

Rumburak napsal(a):
isomorfní s ordinálním číslem $\omega + \omega$ neboli $2\omega$

jarrro · 28. 11. 2013 12:59 — Editoval jarrro (28. 11. 2013 13:01)

↑ MoNi.CZka:m, n sú len premenné zastupujúce čísla. nie parametre úlohy. Rumburak má riešenie dobre je to izomorfné s
$\omega+\omega$ len ten súčinový tvar má naopak buď on alebo wiki, lebo nekonečné ordinály vo všeobecnosti nie sú pri násobení komutatívne
mne išlo len o to či je
$\omega+\omega=\omega\cdot 2$
alebo
$\omega+\omega=2\cdot\omega$

Rumburak · 28. 11. 2013 15:55

↑ jarrro:

Ahoj. Tak s tím jsi mne trochu zaskočil, podívám se na to do Balcara-Štěpánka.

Rumburak · 29. 11. 2013 10:29

↑ jarrro:

Tak Balcar a Štěpánek jsou ve shodě s Tvojí zprávou a sekl jsem se tedy já .
Již opraveno, Tobě děkuji za upozornění a tazatalce ↑ MoNi.CZka: se omlouvám
za nechtěnou mystifikaci.

jarrro · 29. 11. 2013 11:02

↑ Rumburak:nič sa nestalo aj tak si myslím,že logickejšie by bolo dvojku dať dopredu lebo je tam tá omega 2x ale to by súčin musel byť definovaný ako poriadkový typ karteziánskeho súčinu v poradí činiteľov a nie naopak neviem prečo sa väčšinou definuje naopak pri konečných ordináloch je to ale jedno
je to tak?

Rumburak · 29. 11. 2013 11:22

↑ jarrro:
Také jsem se nechal svést úvahou "jablko + jablko = 2 jablka".

Nad těmi konečnými ordinály se raději ještě zamyslím, abych se zase nějak neunáhlil.
Pokud si to po těch cca 12 hodinách časového odstupu od náhledu do zmiňované knihy ještě pamatuji,
tak $\alpha \cdot \beta$ je tam definováno jako ordinál odpovídající lexikograficky uspořádané množině $\beta \times \alpha$
(kart. součin).

jarrro · 29. 11. 2013 13:16

↑ Rumburak:áno pokiaľ sa jedná túto knižku
keby bolo v definícii $\alpha\times\beta$ tak by to bolo naopak ako je to aj
tu

Rumburak · 29. 11. 2013 15:58

↑ jarrro:

Ano, jde o tuto knížku (je na ni reference i na konci toho druhého textu, který mi mimochodem připadá
celkem pěkně napsaný, mohu-li tak soudit na základě letmého přečtení pouze několika jeho náhodně
vybraných odstavců).

TvujLenor · 09. 01. 2015 09:26

Prosím, mohl by někdo pomoci s dalšíma dvěma části zadání...."nebo obě čísla m, n jsou stejné parity a m < n, nebo m = n" ?

Díky!

vlado_bb · 09. 01. 2015 09:37

↑ TvujLenor:Uloha je predsa vyriesena v tom zneni, ako bola napisana. S akymi dalsimi castami?

TvujLenor · 09. 01. 2015 09:49

Já myslel, že řešení se vztahuje pouze na část "m je sudé a n liché" ...

a jsou zde další dvě možnosti pro m a n stejné parity, kde m=n nebo m < n.

Rumburak · 09. 01. 2015 10:39

↑ TvujLenor:

To uspořádání $u$ ze zadání je podle mne míněno jen jedno, a sice $0 < 2 < 4 < 6 < ... < 1 < 3 < 5 < 7 < ...$ ,
takže podmínky

(1) každé liché číslo je větší než libovolné sudé,
(2) jsou-li $m, n$ stejné parity, potom $m$ je "větší" (ve smyslu relace $u$ ) než $n$ , právě když $m > n$ (v "klasickém" smyslu)

jsou obě splněny.

Matematické Fórum

#1 25. 11. 2013 14:04

Ordinální číslo omega

#2 26. 11. 2013 11:27 — Editoval Rumburak (29. 11. 2013 17:12)

Re: Ordinální číslo omega

#3 28. 11. 2013 12:01

Re: Ordinální číslo omega

#4 28. 11. 2013 12:20 — Editoval jarrro (28. 11. 2013 12:26)

Re: Ordinální číslo omega

#5 28. 11. 2013 12:29

Re: Ordinální číslo omega

#6 28. 11. 2013 12:38

Re: Ordinální číslo omega

#7 28. 11. 2013 12:53 — Editoval jarrro (28. 11. 2013 12:54)

Re: Ordinální číslo omega

Rumburak napsal(a):

#8 28. 11. 2013 12:59 — Editoval jarrro (28. 11. 2013 13:01)

Re: Ordinální číslo omega

#9 28. 11. 2013 15:55

Re: Ordinální číslo omega

#10 29. 11. 2013 10:29

Re: Ordinální číslo omega

#11 29. 11. 2013 11:02

Re: Ordinální číslo omega

#12 29. 11. 2013 11:22

Re: Ordinální číslo omega

#13 29. 11. 2013 13:16

Re: Ordinální číslo omega

#14 29. 11. 2013 15:58

Re: Ordinální číslo omega

#15 09. 01. 2015 09:26

Re: Ordinální číslo omega

#16 09. 01. 2015 09:37

Re: Ordinální číslo omega

#17 09. 01. 2015 09:49

Re: Ordinální číslo omega

#18 09. 01. 2015 10:39

Re: Ordinální číslo omega

Zápatí