Matematické Fórum

Grupoid je vlastne akési spojenie množiny a operácie na tejto množine. Ak máme danú dvojprvkovú množinu, tak definovanie grupoidu spočíva vlastne iba v definovaní operácie na tejto množine. Inak povedané, počet grupoidov sa rovná počtu rôznych možností vyplnenia tabuľky operácie grupoidu. Táto tabuľka môže vyzerať napríklad takto:

* || A | B |
-------------
A || B | A |
B || A | A |
-------------

Teda v prípade tejto operácie napríklad A*A = B alebo B*A = A.

Komutatívnosť sa dá veľmi jednoducho určiť z tabuľky tak, že grupoid je komutatívny vtedy a len vtedy keď je symetrický podľa hlavnej diagonály (teda tej zľava zhora doprava dole), pričom na tejto diagonále môžu byť hocijaké prvky.

Podobne sa bude riešiť druhá úloha, kde ale v druhej časti musíme vedieť, že v prípade grupy nemôžeme vyplniť tabuľku hocijako, ale musí existovať neutrálny prvok grupy a keďže v grupe platia tzv. zákony o krátení, tak na tabuľke sa to premietne tak, že v jednom riadku ani v jednom stĺpci nemôžu byť dva rovnaké prvky. Grupa je vlastne asociatívny grupoid s neutrálnym prvkom, kde ku každému prvku existuje jeho inverzný.