Matematické Fórum

Terka18

Ahoj, byla jsem doma s chřipkou a teď dopisuju nějaké příklady do školy na monotónost a derivaci a chtěla bych se zeptat na dva příklady:

Zadání: Určete intervaly monotónosti následujícíh funkcí:

1) $y=x\sqrt{x-1},$

Podmínky: $x\ge 1$
derivace: $=\frac{3x-2}{2\sqrt{x-1}}$

Klesající: $\frac{3x-2}{2\sqrt{x-1}}<0$
$x<\frac{2}{3}$
ale podmínka: $x-1>0$
$x>1$

Rostoucí: $\frac{3x-2}{2\sqrt{x-1}}>0$
$x>\frac{2}{3}$

ale podmínka: $x-1>0$
$x>1$

=> $x\in (1,+\infty )$

Ale ve výsledcích (Petáková) je, že “roste v $<1,+\infty )$ “ - proč je tam uzavřený interval zleva, když x>1 ? V jakém kroku mám určovat podmínky?

2) U tohoto příkladu bych se chtěla zeptat, jestli mám určovat definiční obor a v jakém kroku ho mám určovat, a pak taky celkově na postup, jestli ho lze takto zapisovat:
$y=\sqrt{\frac{x-6}{4-x}}$
Podmínky: $x\neq 4$
$\frac{x-6}{4-x}\ge0$ => číselný osa=> $D_f=(4,6>$
Derivace(snad je správně): $=\frac{-1}{\sqrt{ \frac{x-6}{4-x}}*(4-x)^2}$
Rostoucí: $\frac{-1}{\sqrt{ \frac{x-6}{4-x}}*(4-x)^2}>0$
Protože jmenovatel nemůže být záporný, mohu nerovnici vynásobit jmenovatelem: $-1>0$ => funkce není rostoucí

Klesající: $\frac{-1}{\sqrt{ \frac{x-6}{4-x}}*(4-x)^2}<0$
$-1<0$
ale podmínky: $x\neq4$ a $\frac{x-6}{4-x}>0$ => číselná osa => $D_f=(4,6)$
$x\in (4,6)$

Což je podle výsledků, ale co ten postup a kde určovat podmínky a definiční obor - na začátku nebo až po zderivování? (zatím to dělám tak, že je raději určím všude, kde to jde.... :) )

Díky moc :)

marnes · 30. 11. 2013 17:25 — Editoval marnes (30. 11. 2013 17:28)

↑ Terka18:

1) definiční obor je $x\ge 1$

Definiční obor se určuje ze zadání

Terka18 · 30. 11. 2013 17:31

↑ marnes: Ale proč je potom u toho druhého příkladu správně, že $x\in (4,6)$ , když definiční obor ze zadání je $(4,6>$ ?

marnes · 30. 11. 2013 17:36

↑ Terka18:
Hmm, já bych řekl že tam má být $(4,6>$ Co by ta funkce pak v té šestce dělala? Je tam definována.

Terka18 · 30. 11. 2013 18:14

↑ marnes: Teď do těch výsledků koukám a fakt tam je “funkce klesá v $(4,6)$

marnes · 30. 11. 2013 18:20 — Editoval marnes (30. 11. 2013 18:20)

↑ Terka18:
Tak se třeba někdo přidá a buď potvrdí či vyvrátí, sám budu rád za odpověď

jelena · 30. 11. 2013 20:14

Zdravím,

v obou případech def. obor derivace je "užší", než def. obor samotné funkce a při vyšetření extrému bychom museli speciálně došetřit chování funkce na okraji def. oboru (kde derivace není definována). Mně osobně by více vyhovovalo zapisovat intervaly monotonie jako otevřené intervaly a body extrému poznamenat zvlášť.

Ale co jsem se dívala u Petákové, tak snad jen v úloze $y=\sqrt{\frac{x-6}{4-x}}$ použila otevřené intervaly, ale v jiných má intervaly dle def. oboru funkce.

Bohužel ani nevím, která kniha se považuje pro SŠ za referenční - Poláka a Dif. počet pro gymnázia mám starší (zde jsou intervaly monotonie otevřené již v definici).

Tak snad ještě někdo další, děkuji.

Terka18

Takže už nikdo? :)

jelena napsal(a):
Mně osobně by více vyhovovalo zapisovat intervaly monotonie jako otevřené intervaly a body extrému poznamenat zvlášť.

Takže ještě když se vrátím k tomu prvnímu příkladu, lze výsledek (správně) zapsat i jako $x\in (1,+\infty )$ ? Nebo je to v tomto případě špatně? Dojde v tomto případě fce do x=1 nebo se bude stále pouze přibližovat?

marnes · 15. 12. 2013 11:50

↑ Terka18:
Jde spíš o to, jak zapisovat kde roste(klesá). Jestli včetně krajního bodu, či zapisovat jen otevřenými intervaly?
(na to jednoznačná odpověď nepadla)

Ale určitě i v x=1 má hodnotu, jelikož je tam definovaná. Proto tam "dojde"

Terka18 · 15. 12. 2013 12:40

↑ marnes:
Ale v tom druhém příkladu je v bodě 6 také definovaná - jestli zapisovat otevřený nebo uzavřený interval se rozhoduji v případě, že se fce k bodu “blíží“, ale v tom druhém příkladu do toho bodu také dojde, ne?

jelena · 15. 12. 2013 16:16

↑ Terka18:

nejlepší si to probrat přímo s učitelem u vás, protože se mi zdá, že u Petákové se objevuji obě formy zápisu, obě jsou jen na jemném rozdílu v definici rostoucí funkce.

Např. u Poláka je stejná definice. Potom bodu $x_1=6$ (být je v def. oboru 2. úlohy) nenajdu bod $x_2$ , se kterým bych mohla porovnat. Proto použiji otevřený interval. Ale nejsem metodik. Zkusím se poptat.

Matematické Fórum

#1 30. 11. 2013 17:20 — Editoval Terka18 (30. 11. 2013 17:25)

Monotónost a derivace

#2 30. 11. 2013 17:25 — Editoval marnes (30. 11. 2013 17:28)

Re: Monotónost a derivace

#3 30. 11. 2013 17:31

Re: Monotónost a derivace

#4 30. 11. 2013 17:36

Re: Monotónost a derivace

#5 30. 11. 2013 18:14

Re: Monotónost a derivace

#6 30. 11. 2013 18:20 — Editoval marnes (30. 11. 2013 18:20)

Re: Monotónost a derivace

#7 30. 11. 2013 20:14

Re: Monotónost a derivace

#8 15. 12. 2013 10:31 — Editoval Terka18 (15. 12. 2013 10:48)

Re: Monotónost a derivace

jelena napsal(a):

#9 15. 12. 2013 11:50

Re: Monotónost a derivace

#10 15. 12. 2013 12:40

Re: Monotónost a derivace

#11 15. 12. 2013 16:16

Re: Monotónost a derivace

Zápatí