Matematické Fórum

agat007 · 01. 12. 2013 19:25

Vypočítejte poloměr kružnice pravoúhlemu trojúhelíku ABC vepsané, jsou-li dány odvěsny a = 12 cm, b = 14 cm

prosím o podrobnější vysvětlení

janca361 · 01. 12. 2013 19:30

↑ agat007:
Střed kružnice vepsané je v průsečíku os úhlů. Napadá tě něco?

agat007 · 01. 12. 2013 20:04

↑ janca361:

ne

janca361 · 01. 12. 2013 20:49

//forum.matweb.cz/upload3/img/2013-12/27363_vepsana.png

Ve velkém trojúhelníku:
$\text{tg} \ \alpha= \frac{a}{b} \Rightarrow \alpha =...$

V malém modrém:
$\text{tg} \ \frac{\alpha}{2}= \frac{r}{b-r} \Rightarrow r =...$

$\text{tg} \ \frac{\alpha}{2}= \frac{r}{b-r} \Rightarrow r =...$

řešit pomocí substituce:
$y=\frac{r}{b-r}$
$\text{tg} \ \frac{\alpha}{2}= y$
Dosadit do substituce a určit $r$

Honzc · 02. 12. 2013 07:57

↑ janca361:
Zdravím,
paní kolegyně, proč tak složitě?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

janca361 · 02. 12. 2013 08:44

↑ Honzc:
Asi takto, mě tam ten prostup přijde jasný.
Tady netuším, co je $P=r\cdot s$ a $s=\frac{a+b+c}{2}$ (jako kde se to vzalo)

Honzc · 02. 12. 2013 13:34 — Editoval Honzc (02. 12. 2013 13:59)

↑ janca361:
P=plocha
Vzorečky platí pro libovolný trojúhelník.
Tak tedy pro pravoúhlý trojúhelník ještě jednodušeji.
Z tvého obrázku, lze odvodit:
$P=r^{2}+2\frac{(a-r)r}{2}+2\frac{(b-r)r}{2}=\frac{a\cdot b}{2}$
Pak
$(a+b)r-r^{2}=\frac{a\cdot b}{2}$
$r^{2}-(a+b)r+\frac{a\cdot b}{2}=0$
$r_{1,2}=\frac{a+b\pm \sqrt{(a+b)^{2}-2a\cdot b}}{2}$
$r=\frac{a+b-\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}(=\frac{a+b-c}{2}=s-c)$
Pozn.:
Ten můj původní vztah pro r, lze jednoduchou úpravou (rozšířením zlomku s využitím P.věty) upravit na vzorec uvedený v tomto příspěvku.

Po editaci:
Nebo úplně nejjednodušeji:
Platí vztah (pro libovolný trojúhelník): $\text{tg}\frac{\gamma }{2}=\frac{r}{s-c}$
A protože pro pravoúhlý trojúhelník je $\frac{\gamma }{2}=45^\circ$ a tedy $\text{tg}\frac{\gamma }{2}=1$
je $r=s-c=\frac{a+b-\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}$