Matematické Fórum

TerezaG · 02. 12. 2013 13:02

Zdravím, potřebuji pomoct s příkladem:
Nevím ani, jak bych měla řešit, kde začít..., co s tím mám vlastně udělat :/

Najděte otevřené intervaly, ve kterých je funkce konstantní, a určete hodnotu funkce f(x) na každém z těchto intervalů.
Daná funkce vypadá takhle:

$f(x)=2arctgx+arcsin\frac{2x}{1+x^2}$

Děkuji za každou radu :)

Brano · 02. 12. 2013 14:24

↑ TerezaG:
najprv si vsimni, ze definicny obor je cele R a potom to zderivuj - konstanta je to tam, kde je derivacia rovna nule

TerezaG · 02. 12. 2013 17:41

↑ Brano:
Dobře, začneme definičním oborem, protože v rom nějak nevidím, že by byl celé R.
Df u arctgx je $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ u arcsin je to $(-1,1)$ i když Df vyřeším, tak mi to nevychází na celé R :(
Potom je to teda jasné, že je funkce konstantní tam, kde je derivace rovna nule, to vyřeším... pak dosazuji do F(x) krajní body těchto intervalů ?
Všechny, nebo jen některé ?

Děkuji :)

thriller · 02. 12. 2013 17:50

arctg(x) má definiční obor celé R, ne jen ten malý interval. Zlomek v argumentu arcsinu je vždy z intervalu <-1;1>, díky tomu je arcsin toho zlomku definovaný taky na celém R.
OK?

TerezaG · 02. 12. 2013 18:42

↑ thriller:
Už to vidím, teď to zderivuji, položím rovno nule, najdu intervaly a pak budu dosazovat krajní body z těchto intervalů ?

Děkuji:)

Brano · 02. 12. 2013 19:48

↑ TerezaG:
ano - tie intervaly by mali vyjst takto: $x^2>1$ .

TerezaG · 02. 12. 2013 19:54

↑ Brano:
Takže budu dosazovat -1 a +1 ? ... co to $\infty , -\infty$ to neřeším ?

Mohl by jste prosím ještě rozepsat tu derivaci rovnu nule ? .. nějak mi to nechce vyjít..

Děkuji

Brano · 03. 12. 2013 12:28

tu je ta derivacia
http://www.wolframalpha.com/input/?i=d% … 1%29%29%29
ked to este trochu upravis, tak dostanes
$f'(x)=\frac{2}{x^2+1}[1-\text{sgn}(x^2-1)]$
co ked polozis rovne 0, tak riesis
$1=\text{sgn}(x^2-1)$ cize $x^2-1>0$ co ti da $x\in(-\infty,-1)\cup (1,\infty)$
ale zo spojitosti $f$ mozes usudit, ze konstantna bude na intervaloch $(-\infty,-1]$ a $[1,\infty)$ a potom si mozes vybrat pre dany interval lubovolny bod ktory donho patri a ten dosadis. Cize pre ten druhy interval bud dosadis $x=1$ alebo $x=500,458+\sqrt{2}$ co budes vediet doratat. Mozes vypocitat aj limitu $\lim_{x\to\infty}f(x)$ ktora je v skutocnosti omnoho jednoduchsia ako trebars dosadit $x=2$ , ale asi je najjednoduchsie dosadit $x=1$ . Podobne pre ten prvy interval.