Matematické Fórum

Tomix · 01. 12. 2013 20:31

Zdravím, úloha zní:
A+B+C=102
A*B*C=24024
Programem to mám razdva
(13,33,56), ale zajímá mě,
jak se to dá vypočítat?

byk7 · 01. 12. 2013 22:02

A nemáš třeba podmínku, že A,B,C jsou celá čísla?

Tomix · 01. 12. 2013 22:50

Honzc · 02. 12. 2013 10:42 — Editoval Honzc (03. 12. 2013 07:43)

↑ Tomix:
Třeba takto:
$a\cdot b\cdot c=24024=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 7\cdot 11\cdot 13$
V tomto rozkladu se musí vyskytovat všechna 3 čísla.
Protože $a+b+c=102$ a to je číslo sudé musí být buď všechna 3 čísla sudá nebo 2 lichá a jedno sudé.
Protože v součinu máme 3 dvojky, pak největší 3 sudá čísla tj. 26,22,14 nedávají součet 102, je zřejmé, že v řešení musí být 2 čísla lichá a jedno sudé.
Dále předpokládejme, že známe např. c.
Pak $a+b=102-c=x$ a $a\cdot b=\frac{24024}{c}=y$
Potom dostaneme: $a(a-x)=y$
a tedy $a_{1,2}=\frac{x\pm \sqrt{x^{2}-4\cdot y}}{2}$
Aby rovnice měla řešení v reálných číslech, pak musí platit $x^{2}-4y\ge 0$
a tedy $(102-c)^{2}\ge \frac{4\cdot 24024}{c}$
Lehce spočítáme, že $c\in \langle12,62\rangle,\;c\in N$
Nyní se vrátíme k rozkladu čísla 24024 a zjistíme, která čísla tedy mohou vyhovovat:
Pro c dostaneme množinu čísel:
$c\in \{12,13,14,21,22,24,26,28,33,39,42,44,52,56\}$
Ptotože, jak jsme zjistili dříve musí být dvě čísla lichá a jedno sudé je řešením (aby součet byl 102) pouze $13,33,56$ (sice vyhovuje i součet 21+39+42=102, ale protože v rozkladu je pouze jedno číslo 3, tak nemůžou být řešením 21=3*7 a zároveň 39=3*13)
Nebo by se další čísla dala vypočítat z dříve uvedené soustavy
Vezměme první liché číslo tj. $c=13$
Pak
$a_{1,2}=\frac{89\pm \sqrt{89^{2}-4\cdot 1848}}{2}=\frac{89\pm \sqrt{529}}{2}=\frac{89\pm 23}{2}=\{33,56\}$
$b=\{56,33\}$