Matematické Fórum

abcmaster · 02. 12. 2013 09:52

Dobrý den, mám problém s jedním příkladem a došly mi nápady jak ho vyřešit. Moc proto prosím o pomoc někoho, kdo ví jak na to. :)
Zadání: Která elipsa se středem v počátku prochází bodem A[3;12/5] a dotýká se přímky 4x+5y-25=0?

Rumburak · 02. 12. 2013 10:55

Zdravím.

Takových elips je nekonečně mnoho, ale na SŠ připojíme předpoklád, že osy elipsy jsou rovnoběžné se souřadnicovými osami,
což úlohu výrazně zjednoduší. Prvním krokem tedy bude napsat rovnici takové elipsy s neznámými délkami a, b jejích poloos.
S touto rovnicí budeme dále pracovat s cílem určit hodnoty neznámých a, b.

Například do ní dosadíme bod A[3;12/5] a dostaneme tak vztah (formou rovnice) mezi a, b.

Dále hledáme společné body elipsy s přímkou 4x+5y-25=0 , při tom chceme, aby takový bod existoval právě jeden, což vede
k podmínce na diskriminant jisté kvadratické rovnice.

Cheop · 02. 12. 2013 12:54

↑ abcmaster:
A nějak takto by ti to mělo vyjít:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2013-12/85249_2elips.png

abcmaster · 02. 12. 2013 17:25

↑ Rumburak:
Dík za radu :) jenom mám spíš problém s tou kvadratickou rovnicí - nejsem schopnej ji dostat v nějakém řešitelném tvaru... takhle jsem jinak při řešení postupoval - můžu když tak poprosit o nějaké "zhruba" řešení? Výsledky mám, ale bohužel nevím, jak k nim přijít... díky :)

abcmaster · 02. 12. 2013 17:34

↑ Cheop:
dík moc :) ve výsledcích mám jenom to jedno řešení... ale spíš bych potřeboval vědět, kde se to vzalo... :)

Cheop · 03. 12. 2013 08:41 — Editoval Cheop (03. 12. 2013 10:15)

↑ abcmaster:
Tak tedy:
Osová rovnice elipsy bude mít tvar:
1)
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
Protože elipsa má procházet bodem $A=\left(3;\,\frac{12}{5}\right)$ potom tyto souřadnice dosadíme do předpisu elipsy a dostaneme:
2)
$\frac{3^2}{a^2}+\frac{12^2}{5^2\,b^2}=1\\\frac{9}{a^2}+\frac{144}{25b^2}=1$
Dále se má tato elipsa dotýkat přímky o rovnici: $4x+5y-25=0$ z této rovnice vyjádříme y a dosadíme do předpisu elipsy:
$4x+5y-25=0\\y=\frac{25-4x}{5}$ a dostaneme:
3)
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{(25-4x)^2}{25b^2}=1$

Porovnáním rovnic 2) a 3 dostaneme:
$\frac{a^2-9}{144a^2}=\frac{a^2-x^2}{a^2(25-4x)^2}$ - úpravou dospějeme ke kvadratické rovnici s parametrem a :
$16x^2a^2-200xa^2+1800x+481a^2-5625=0\\16x^2a^2-x(200a^2-1800)+481a^2-5625=0$ protože přímka má být tečnou elipsy, potom tato kvadratická rovnice musí mít pouze jeden kořen tj. její diskriminant D = 0 tedy platí:
$(200a^2-1800)^2-64a^2(481a^2-5625)=0$

WolframAlpha počítá - ale jde to počítat i rukama

Dostáváme 2 hodnoty a
$a_1=5\\a_2=\frac{15}{4}$ nyní nám stačí dopočítat hodnoty b_1 a b_2
Pro $a=5$ dostaneme:
$\frac{1}{25b^2}=\frac{a^2-9}{144a^2}\\25b^2=\frac{144\cdot 25}{25-9}\\5b=\frac{60}{4}\\b=3$
Dostaneme tak rovnici elipsy:
$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\\\color{blue}9x^2+25y^2=225$
pro $a=\frac{15}{4}$ dopočítáme b tj:
$\frac{1}{25b^2}=\frac{a^2-9}{144a^2}=\\\frac{1}{25b^2}=\frac{\frac{225}{16}-9}{144\cdot\frac{225}{16}}\\b=4$
Rovnice elipsy:
$\frac{x^2}{\frac{225}{16}}+\frac{y^2}{16}=1\\\frac{16x^2}{225}+\frac{y^2}{16}=1\\\color{magenta}256x^2+225y^2=3600$

Existují tedy 2 elipsy, které vyhovují zadání - viz obrázek výše.

PS: A které řešení máš ve výsledcích, protože pokud máš jen jedno, pak je ve výsledcích chyba.

abcmaster · 03. 12. 2013 11:12

↑ Cheop:
Díky moc :) mě nenapadlo dát rovnice 2 a 3 do rovnosti... :D jinak dál už bych věděl... :) jinak ve výsledcích té sbírky jsem už našel i více chyb, takže mě ani nepřekvapuje, že tam je jen jeden výsledek... Je možné, že by tato rovnice měla jen jedno řešení pro a=b a byla to pak kružnice?? Jenom by se posunul střed?

Rumburak · 03. 12. 2013 12:20

↑ abcmaster:

Je možné, že by tato rovnice měla jen jedno řešení pro a=b a byla to pak kružnice?? Jenom by se posunul střed?

Není to možné. Musela by se změnit něktará s podmínek úlohy (střed elipsy, bod A[3;12/5] , přímka 4x+5y-25=0).

Matematické Fórum

#1 02. 12. 2013 09:52

Rovnice elipsy

#2 02. 12. 2013 10:55

Re: Rovnice elipsy

#3 02. 12. 2013 12:54

Re: Rovnice elipsy

#4 02. 12. 2013 17:25

Re: Rovnice elipsy

#5 02. 12. 2013 17:34

Re: Rovnice elipsy

#6 03. 12. 2013 08:41 — Editoval Cheop (03. 12. 2013 10:15)

Re: Rovnice elipsy

#7 03. 12. 2013 11:12

Re: Rovnice elipsy

#8 03. 12. 2013 12:20

Re: Rovnice elipsy

Zápatí