Matematické Fórum

natan1 · 04. 12. 2013 08:58

Zdravím, řešil jsem limitu $\lim_{n\to\infty } \frac{n^{3}+5}{n^{2}}$ . Výpočtem jsem došel k nekonečnu. Když si však posloupnost zobrazím na grafu, tak první člen je 6, druhý 3,25, třetí 3,56 a dále už posloupnost roste do nekonečna, jak bych očekával. Je nějaký problém v tom, že po prvním členu posloupnost klesne a až pak roste k nekonečnu? Má to nějaké vysvětlení? Děkuji.

Pozn. K něčemu podobnému jsem došel i u $\lim_{n\to\infty } \frac{3n-12}{2n^{2}}$ . Posloupnost napřed roste a až později klesá a blíží se k 0 (což podle výpočtu očekávám).

jelena · 04. 12. 2013 10:03

Zdravím,

osobně bych v tom nějaký problém neviděla - posloupnost má nějaký předpis, podle kterého se chová. Limitu vyšetřuješ pro $n\to \infty$ , tedy chování posloupnosti "v hodně velkých číslech" hrubě řečeno. Pokud bys chtěl podrobněji vyšetřovat chování posloupnosti na celém oboru n, tak můžeš přistupovat jako k průběhu funkce na def. oboru přirozených čísel. Dobře vidět např. na známých funkcích použitých pro předpis posloupnosti $a_n=(n-3)^2$ . Je to vidět a je to problém, který jsi řešil? Děkuji.

Obdobně můžeš přistoupit i k podrobnějšímu rozboru Tvých posloupností (ale s limitou v nekonečnu jsi zřejmě zacházel správně).

natan1 · 04. 12. 2013 10:43

Vámi navrhovanou posloupnost jsem si zobrazil na grafu a opravdu je to podobný případ. V blízkosti nekonečna jsou ty limity jasné, ale jde mi o to, jestli existuje nějaký univerzální postup, jak zjistit, kolik bodů grafu si zobrazit, abych z toho grafu poznal limitu. Když si to zobrazím v excelu tak rychle vidím třeba 20 členů, ale pokud bych to měl počítat ručně, tak se může stát, že u nějaké posloupnosti bude třeba prvních 5 členů klesat k nule a až pak členy začnou růst k nekonečnu (pokud je limita nekonečno). Děkuji

Rumburak

↑ natan1:

Zdravím ve vlákně.

Dodám, že pouze konečný počet členů posloupnosti (ani kdyby šlo řekněme o milion členů) nemůže její limitu ovlivnit
ani co do existence, ani co do hodnoty. Odtud plyne, že obecné "pravidlo", které by říkalo, kolik čelenů posloupnosti
stačí si spočítat, aby bylo možno limitu spolehlivě určit, neexistuje.
Příklad: posloupnost $(a_n)$ , kde $a_n = (n - 1 000 000)^3$ , má limitu $+\infty$ .

Posloupnost mající limitu rovněž nemusí být monotonní.
Příklad: posloupnost $(b_n)$ , kde $b_n = 2^n + (-2)^n + n$ , má limitu $+\infty$ .

K určení limity posloupnosti je proto nezbytné pracovat přímo s jejím funkčním předpisem.

jelena · 04. 12. 2013 10:58

↑ natan1:

Grafem to nechytneš - vezmi si stejný příklad, jen v úpravě $a_n=(n-1000000)^2$ . Z vlastností kvadratické funkce víš, jak se graf posloupnosti zachová, ale nakreslením i hodně velkého počtu členů pořád neuvidíš nic.

Limita posloupnosti má jasnou definici, o které nejsem kompetentní mluvit - lepší od odborně zdatných kolegů.

jelena · 04. 12. 2013 11:01

↑ Rumburak:

Zdravím :-)

na Náhled jsem se dívala (to zas musela být vteřina). Pokračuj, prosím, odborně zdatný kolego a děkuji velice. Evidentně 1000000 považujeme za hodně velké číslo (pobavilo). Určitě Tvůj výklad bude kolegovi k většímu prospěchu, děkuji.

Rumburak · 04. 12. 2013 11:07

↑ jelena:

Evidentně 1000000 považujeme za hodně velké číslo

Jsem rád, že jsme ve shodě :-) , i když finanční inflace tento pohled poněkud zpochybňuje :-( .

jelena · 05. 12. 2013 14:26

↑ Rumburak:

:-) budeme se na to dívat z lepšího směru - i při polovičním poklesu z milionu je pořád dost (co povídala k tématu oblíbená autorka, doplním) - pokud si vzpomínám, tak řešila 300 zlatek a 3 zlatky (také nějaké krejcary), upřesním v příhodnějším tématu.

Autor tématu nijak nezareagoval, zda stačilo a je jasno, ovšem - omluva autorovi za OT.

natan1 · 05. 12. 2013 15:18

Omlouvám se za pozdní reakci. Vysvětlení mi stačí a děkuji za něj!

Matematické Fórum

#1 04. 12. 2013 08:58

Limita posloupnosti

#2 04. 12. 2013 10:03

Re: Limita posloupnosti

#3 04. 12. 2013 10:43

Re: Limita posloupnosti

#4 04. 12. 2013 10:57 — Editoval Rumburak (04. 12. 2013 11:01)

Re: Limita posloupnosti

#5 04. 12. 2013 10:58

Re: Limita posloupnosti

#6 04. 12. 2013 11:01

Re: Limita posloupnosti

#7 04. 12. 2013 11:07

Re: Limita posloupnosti

#8 05. 12. 2013 14:26

Re: Limita posloupnosti

#9 05. 12. 2013 15:18

Re: Limita posloupnosti

Zápatí