Matematické Fórum

Blackflower · 01. 12. 2013 19:57

Ahojte,
píšem bakalárku na tému Mocninové rady a ich využitie. Hlavnou náplňou mojej práce sú dôkazy a teoretické veci, ktoré naformulujem podľa knihy od Rudina - Principles of mathematical analysis. Čo sa týka využitia v praxi, moc nápadov nemám. Vedeli by ste mi poradiť nejaký zdroj, či už knihu (aspoň bude dôvod konečne navštíviť knižnicu na matfyze :D) alebo článok na internete?
Vopred vďaka za každú radu.

Brano · 04. 12. 2013 02:02 — Editoval Brano (04. 12. 2013 02:15)

Kedze knihu az tak nepoznam, tak neviem, ze ci to co sa mne zda ako dolezite vyuzitie nie je nahodou pokryte uz tam, ale mne sa teda pacia nasledovne:

dolezite vyuzitie cislo 1) definicia funkcie $e^x$ (rovno aj pre komplexne cisla)
vyuzitie cislo 2) riesenie (niektorych) diferencialnych rovnic

a rovno ako priklad sa da uviest:
Riesme rovnicu $y'=y, y(0)=1$ z teorie vieme, ze ma prave jedno riesenie.
Co keby bolo analyticke? Potom by sa dalo napisat $y(x)=\sum a_n x^n$ co mozme dosadit.
$\sum na_nx^{n-1}=\sum a_n x^n,\quad y(0)=a_0=1$
teda $a_n=\frac{a_{n-1}}{n},\quad a_0$ co sa vyriesi lahko
$a_n=\frac{1}{n!}$
a z teorie o mocninovych radoch vieme, ze funkcia
$\sum \frac{x^n}{n!}$ je dobre definovana pre lubovolne $x\in R$ resp $C$
a pomenujeme ju $\exp(x)$ a to je urcite (to jedine) riesenie nasej rovnice. neskor nahliadneme ako suvisi s umocnovanim.

vanok · 04. 12. 2013 04:39

Ahoj ↑ Blackflower:,
Mozes presnejsie napisat co planujes dat do tvojej praci.

Tu mas mozny plan.
Napr. Je dobre zacat zo studium formalnej mocninovej rady. ( podobne ako sa studuju formalne polynomy ).
Potom mozes hovorit o polomere konvergencie ako aj o roznych druhoch konvergencii.
Tiez ako to funguje z limitamy. ...
Ako sa daju definovat funkcie z mocninovymi radamy.
A opacne kedy a ako mozeme najst pre danu funkciu jej mocninovu radu.
Ake operacie mozme robit z mocninovymi radami. ( napr derivaciu, integraciu, pouzitie funkcionalnych relacii... )
Suvis z aproximaciou funkcii ako Weirsrass-ova veta...
Suvis z realnymi analytickymi funkciamy.
Alebo aj z Dirichlet-ovymi radamy
Atd.

vanok · 04. 12. 2013 13:26 — Editoval vanok (04. 12. 2013 13:34)

UAhoj,
Dnesna myslienka.

Prebehol som Rudin-ovu knihu.
Je to velmi dobra uvodna kniha do analyzy.
Co sa tyka Power Series, najdes tam len zakladne vlasnosti.
Plan co som ti navrhol ide o mnoho dalej, a odpoveda na vela otazok na ktore vela studentov nevie odpovedat.

V inej slavnej Rudinovej knihe: real and complex analysis, najdes v uvode zavedenie exp, co je jedna klasicka funkcia definovana vdaka takymto radom. (↑ Brano: o tom trochu pise).
Problem formalnych mocninovych radov je uvedeny napr tu http://en.wikipedia.org/wiki/Formal_power_series, (je to velmi uzitocne a zjednodusi znacne aj ine neskorsie vysledky)
Na pokracvanie.

Blackflower

↑ Brano: ↑ vanok: Čaute,
vďaka za reakcie. Moja školiteľka má o bakalárke v podstate presnú predstavu - mojou úlohou bude spracovať a "poľudštiť" teóriu plus vypočítať zopár príkladov (to ale neznamená, že nie som otvorená ničomu inému). Niečo k využitiu som si našla, diferenciálne rovnice plánujem spomenúť, aj keď sme ich ešte nemali, ale základné pojmy si nájdem a pokiaľ budem schopná to pochopiť, rozpíšem sa o tom viac (aj podľa počtu strán :D).
Možno sa ešte ozvem :D

Matematické Fórum

#1 01. 12. 2013 19:57

BP - mocninové rady

#2 04. 12. 2013 02:02 — Editoval Brano (04. 12. 2013 02:15)

Re: BP - mocninové rady

#3 04. 12. 2013 04:39

Re: BP - mocninové rady

#4 04. 12. 2013 13:26 — Editoval vanok (04. 12. 2013 13:34)

Re: BP - mocninové rady

#5 04. 12. 2013 20:48 — Editoval Blackflower (04. 12. 2013 20:49)

Re: BP - mocninové rady

Zápatí