Matematické Fórum

marketa0007777 · 04. 12. 2013 21:39

Dobrý den, potřebovala bych pomoct s výpočtem odchylky dvou rovin v krychli ABCDEFGH. Roviny jsou BDE a BDG.
Hlavní problém je v tom, že nedokážu najít pomoctnou rovinu... děkuji za rady

teolog · 04. 12. 2013 21:42

↑ marketa0007777:
Zdravím,
pomocná rovina se nabízí ACE.

marketa0007777 · 04. 12. 2013 22:20

↑ teolog:
děkuju a nemohl byste sem prosím dopsat přesný postup a výpočet? děkuju..

teolog · 04. 12. 2013 22:35

↑ marketa0007777:
To bych sice mohl, ale nechci Vám dávat kompletní řešení jen tak (třeba protože je to proti místním pravidlům).

Základem je náčrtek. Pokud ho máte, měla byste vidět, že odchylka těch rovin je rovna odchylce přímek SE a SG, kde S je střed dolní podstavy (při klasickém značení). Tyto přímky resp. úsečky tvoří spolu s úhlopříčkou horní podstavy trojúhelník, jehož strany se dají relativně lehce dopočítat. Pak stačí ten trojúhelník rozpůlit a pomocí nějaké vhodné goniometrické funkce dopočítat odchylku. Mně to vychází přibližně 44°25´.

marketa0007777 · 04. 12. 2013 23:13

↑ teolog:
a když je strana a 6 cm, je možné, že mi výsledek vyšel 60 stupňů?

Honzc · 05. 12. 2013 10:16 — Editoval Honzc (05. 12. 2013 12:10)

↑ marketa0007777:
Pokud se bavíme o krychli, pak úhel dvou rovin nezávisí na velikosti hrany krychle.
↑ teolog:
Zdravím,
já tedy nevím, ale mně to vychází 70.5288 stupňů

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

teolog · 05. 12. 2013 20:39 — Editoval teolog (05. 12. 2013 20:39)

↑ Honzc:
Díky za kontrolu. Skutečně jsem našel chybičku, ale po opravě mi to vychází také 60°, $\text{tg}\frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

marketa0007777 · 05. 12. 2013 23:14

↑ teolog:
tak jaký výsledek je tedy správný...?

Honzc · 06. 12. 2013 08:05 — Editoval Honzc (06. 12. 2013 08:32)

↑ marketa0007777:
Správný výsledek je ten můj.
Kontrola 1
$\text{tg}\frac{\alpha }{2}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ a z toho $\text{tg}\alpha =\frac{2\frac{\sqrt{2}}{2}}{1-\frac{1}{2}}=2\sqrt{2}$
protože platí: $\cos ^{2}\alpha =\frac{1}{1+\text{tg}^{2}\alpha }$
dostaneme $\cos ^{2}\alpha =\frac{1}{1+8}=\frac{1}{9}\Rightarrow \cos \alpha =\frac{1}{3}$
Kontrola 2 (přes úhel dvou rovin - analyticky)
$\cos \alpha =\frac{|n_{1}\cdot n_{2}|}{|n_{1}|\cdot |n_{2}|}$
kde $n_{1},n_{2}$ jsou normálové vektory rovin.
Protože $n_{1}=n_{BDE}=(1,1,1)$ a $n_{2}=n_{BDG}=(1,1,-1)$
máme $\cos \alpha =\frac{|1\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot (-1)|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}\cdot \sqrt{1^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{1}{3}$
Kontrola 3 (kosinová věta)
$2=3-3\cos \alpha \Rightarrow \cos \alpha =\frac{1}{3}$
Kontrola 4 (z obrázku)