Matematické Fórum

Maniac · 05. 12. 2013 15:53

Zdravím, jelikož jsem na komplexní čísla úplný osel, chtěl bych poprosit o zkontrolování popřípadě vyjádření k mému řešení.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2013-12/55180_IMAG0016.jpg

Díky

Rumburak

↑ Maniac:
Zdravím také.

Abych se vyhnul odmocninám z imaginárních čísel, tak bych na to šel trochu jinak.

Polynom

(1) $f(x) := x^4 + 2x^2 + 4$

má pouze reálné koeficienty a zřejmě nemá reálné kořeny, proto jeho čtyři imaginární kořeny budou tvořeny
dvěma dvojicemi komplexně sdružených imaginárních čísel.
Odtud plyne existence reálných čísel $p, q, P, Q$ takových, že

(2) $f(x) \equiv (x^2 + px + q)(x^2 + Px + Q)$ .

Roznásobení (2) a porovnání s (1) vede k rovnicím

$qQ = 4$ ,
$qP + pQ = 0$ ,
$q + Q + pP = 2$ ,
$p + P = 0$ .

Řešením této soustavy dostaneme rozklad (2) ve tvaru

(3) $f(x) \equiv (x^2 + \sqrt{2}\, x + 2)(x^2 - \sqrt{2}\, x + 2)$ ,

takže zbývá nalézt kořeny polynomů $x^2 + \sqrt{2}\, x + 2 , x^2 - \sqrt{2}\, x + 2$ , což je už snadné.

POZNÁMKA. Ještě dodám že k rozkladu (3) se dá dospět i rychleji :

$x^4 + 2x^2 + 4 = (x^4 + 4x^2 + 4) - 2x^2 = (x + 2)^2 - (\sqrt{2}\,x)^2 = ...$

(a dál podle vzorce o rozkladu rozdílu "čtverců") .

Jj · 05. 12. 2013 16:44 — Editoval Jj (05. 12. 2013 16:47)

↑ Maniac:

Dobrý večer, řekl bych, že při Vámi uvedeném postupu jste zapomněl ještě dva kořeny
(se záporným znaménkem před závěrečnými odmocninami). Jinak myslím v pořádku s
tím, že by se měly vyčíslit uvedené odmocniny z imaginárních čísel, nebo viz postup
kolegy ↑ Rumburak:.

Matematické Fórum

#1 05. 12. 2013 15:53

Bikvadratická rovnice řešená v komplexních čislech

#2 05. 12. 2013 16:31 — Editoval Rumburak (05. 12. 2013 17:12)

Re: Bikvadratická rovnice řešená v komplexních čislech

#3 05. 12. 2013 16:44 — Editoval Jj (05. 12. 2013 16:47)

Re: Bikvadratická rovnice řešená v komplexních čislech

Zápatí