Matematické Fórum

perwin · 05. 12. 2013 22:13

Dobrý den,

měl bych dotaz. Jak mohu u výrazu
$x^{4} - 2\cdot x^{3} + 2\cdot x^{2} - x$ , kde $x \in \mathbb{N}$
dokázat, že bude vždy dělitelný 6, aniž bych dosazoval hodnoty za x do výrazu?

Děkuji mnohokrát.

byk7 · 05. 12. 2013 22:35

$x^{4} - 2\cdot x^{3} + 2\cdot x^{2} - x=x(x-1)$x^2-x+1$$

čísla $x$ a $x-1$ jsou po sobě jdoucí, tedy jedno z nich je vždy dělitelné dvěma

pokud je $x$ dělitelné třemi, je dělitelný třemi i celý polynom
pokud dává $x$ po dělení třemi zbytek jedna, je činitel $x-1$ dělitelný třemi
pokud dává $x$ po dělení třemi zbytek dva, je činitel $x^2-x+1$ dělitelný třemi (ověř si)

tedy polynom je vždy dělitelný dvěma a třemi, tedy je dělitelný šesti

Freedy · 05. 12. 2013 22:46

$(x^4-2x^3+2x^2-x) \space mod \space 6=$
x = 0
$0\space mod\space6=0$
x = 1
$0\space mod\space6=0$
x = 2
$6\space mod\space6=0$
platí to teda pro mod 2 i pro mod 3, to znamená, že je dělitelný třemi i dvěmi = dělitelný 6.

Honzc · 06. 12. 2013 11:06

↑ perwin:
Nebo to jde dokázat i takto:
$x^{4} - 2x^{3} + 2x^{2} - x=x(x-1)(x^{2}-x+1)=$
$=x(x-1)(x^{2}-4x+4+3x-3)=x(x-1)((x-2)^{2}+3(x-1))=$
$=x(x-1)(x-2)^{2}+3x(x-1)^{2}$
Protože $x(x-1)(x-2)$ jsou 3 po sobě jdoucí čísla, pak alespoň jedno z nich je dělitelné 2 a právě jedno dělitelné 3, pak tedy $x(x-1)(x-2)$ musí být dělitelné 6.
Také výraz $3x(x-1)^{2}$ je jistě dělitelný 3 a jedno z čísel $x(x-1)$ je sudé (dělitelné 2) a proto je celý dělitelný 6.
Máme tedy dva výrazy dělitelné 6, proto i jejich součet musí být dělitelný 6.