Matematické Fórum

andulkas · 05. 12. 2013 22:06

Ahojky.

Zadání prvního příkladu je takové je dána grupa (Z,+). Uveďte příklad homomorfismu $\varphi: Z\rightarrow Z$ tak, že jádro Ker $\varphi = {-1,0,1}$
Podle mě to nejde, protože $\varphi (e_G)=e_H$ a tedy v jádru bude jen jednička, jelikož je to z celých čísel do celých
Stačí to tak jako zdůvodnění nebo je potřeba ještě něco dodat?

A pak mám ještě jeden příklad a s něm si nevím rady, zda to jde.

Rozhodněte a zdůvodněte, zda grupoidy (N,+) a (N,.) jsou izomorfní.
Vím, že bijekci z N do N udělat jde tedy problém bude spíš v tom, aby to byl homomorfismus čili
$\varphi (a+b) = \varphi (a) . \varphi (b)$

Děkuji.

Andrejka3

↑ andulkas:
Jádro homomorfismu musí být podgrupou grupy, odkud se zobrazuje.
Tvé odůvodnění je podle mě špatně.

U druhého příkladu stačí hledat nějaké malé podmnožiny, které generují celou strukturu. Určitě najdeš jednoprvkovou množinu, která generuje první grupoid.

andulkas · 05. 12. 2013 23:16

↑ Andrejka3:
Tak k tomu druhému (N,+) mi generuje jednička, ale nevím jak to s tím souvisí.

Andrejka3 · 05. 12. 2013 23:19

↑ andulkas:
Pokud zjistíš že ta druhá nemá jednoprvkovou množinu, která ji generuje, nemohou být izomorfní.

andulkas · 05. 12. 2013 23:34

↑ Andrejka3:
aha tak to děkuju, akorát myslím, že v těch skriptech to není,
a kdyby bylo například (Z_6,+) a (Z_6,.) tak v (Z_6,+) jsou dvě jednoprvkové množiny, které ji generují (1 a 5). A v (Z_6,.) jednoprvková množina není, takže také nejde sestrojit, aby byly izomorfní.

Andrejka3 · 06. 12. 2013 09:19

↑ andulkas:
Co je (Z_6,.) ? Jaké má prvky?
To, že dvě algebry jsou izomorfní má za důsledek, že jsou algebraicky rovnocenné. Můžeš zkusit dokázat to tvrzení:
$(\mathbb{N},+)\cong(\mathbb{N},\cdot)$ a $\varphi$ je izomorfismus, $\{1\}$ generuje $(\mathbb{N},+)$ , pak $\{\varphi(1)\}$ generuje $(\mathbb{N},\cdot)$ .

Ještě jednodušším kriteriem by bylo například hledání prvků speciálních vlastností.
Jistě najdeš prvek s jedinečnou vlastností v grupoidu $(\mathbb{N},\cdot)$ , ale obdobný prvek nebude v $(\mathbb{N},+)$ .