Matematické Fórum

Fobl · 04. 12. 2013 17:02

Dobrý den.
Učím se na zápočtový test z PSA a potřebuju to pochopit.
Mám příklad:
a) V osudí jsou 3 bílé a 2 černé kuličky. Náhodně vytahujeme po jedné kuličce tak dlouho, dokud nevytáhneme bílou. (Vytaženou kuličku nevracíme do osudí.) Pro náhodnou veličinu X, která udává počet potřebných tahů, určete ppstní funkci P(x), distributivní funkci F(x) (načrtněte též jejich grafy) a spočtěte střední hodnotu E(x).

b) Uvažme stejný náhodný pokus jako v části a) tohoto příkladu, s tím že vytaženou kuličku vracíme zpět do osudí. Spočtěte ppst, že budeme potřebovat více než tři tahy.

a) Napadá mě logická úvaha.
To že vytáhneme bílou kuličku na 1. pokus máme pravděpodobnost 0,6
nejvýš na 2. pokus 0,9
přesně na 2. pokus 0,3
nejvýš na 3. pokus 1
přesně na 3. pokus 0,1
ale jinak to moc nechápu, co se v příkladu vyžaduje, že by se mělo spočíst.

b) Napadá mě $0,4^{3}=0,064$ , jelikož mě napadlo, že počítáme pravděpodobnost toho, že kulička nebude vytažena ani na 3. pokus, tj. že budeme potřebovat 4 a více pokusů.

KennyMcCormick

a)
Pravděpodobnostní funkce:
$P(X=k)=\frac{{{5-3}\choose {k-1}}}{{5\choose {k-1}}}\cdot \frac{3}{5-k+1}=\frac{(5-k)(4-k)}{5\cdot4}=\frac1{20}k^2-\frac9{20}k+1$

Distributivní funkce:
$F(k)=P(X\leq k)=\left\lbrace\begin{aligned} 0\:\text{pro}\:k\leq 0 \\ \sum_{i=1}^k \left(\frac1{20}i^2-\frac9{20}i+1\right)\:\text{pro}\:k=1,2,3 \\ 1\:\text{pro}\:k\geq3 \end{aligned}\right$
EDIT:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Grafy zvládneš načrtnout sám?

Střední hodnota:
$E(X)=\sum_{k=1}^3(k\cdot P(X=k))=1\cdot\frac35+2\cdot\frac3{10}+3\cdot\frac1{10}=1,5$

b)
Ano, tak je to správně. :-)

EDIT:
Oprava překlepu.

Pro pravděpodobnostní funkci platí, že pravděpodobnost vytažení při právě $k$ -tém tahu pro $k\leq0\vee k\geq3$ je nula.

změněno na

Pro pravděpodobnostní funkci platí, že pravděpodobnost vytažení při právě $k$ -tém tahu pro $k\leq0\vee k{\color{red}>}3$ je nula.

nanny1 · 05. 12. 2013 09:40

Dobrý den, mohla bych se prosím zeptat na úlohu a), kde se vzal ten vzorec? Taky jsem tuhle úlohu řešila, pochopila jsem zadání tak, že pravděpodobnostní funkce určuje počet maximálních pokusů (nejvýš na 1.pokus, 2.pokus,..), což ale tak není, protože distribuční funkce vychází větší než jedna...

Fobl · 05. 12. 2013 17:31 — Editoval Fobl (05. 12. 2013 19:08)

Dobrý den.
Chtěl bych se zeptat u té pravděpodobnostní funkce, zda výše uvedený výpočet lze brát jako konečný výsledek. Vidím, že je to tvar kvadratické rovnice. Zkoušel jsem si vypočítat k. Diskriminant mi vyšel $\frac{1}{400}$ a výsledky pro k mi vyšli 5 a 4. Přemýšlím nad jednou věcí, čemu se rovná ${{{5-3}\choose {k-1}}}$ tj. ${{{2}\choose {k-1}}}$ a ${{{5}\choose {k-1}}}$ . Vím, že např. ${{{5}\choose {2}}}=\frac{5!}{2!*3!}$ , ale teď si kladu otázku jak postupovat v tomto případě, kdy mi tu dělá neplechu to k.
U distributivní funkce vidím, že jsem si dosadil to, co mně vyšlo u pravděpodobnostní funkce, jenom jsem tam místo k dal i. Vím, že $i^{2}=-1$ , což by nakonec vyšlo: $P(X\leq k)=\sum_{i=1}^k \left(\frac{19}{20}-\frac9{20}i\right)$ . Kladu si ještě otázku, zda se nemá ještě vypočítat řada u této distributivní funkce.
U střední hodnoty $E(X)=\sum_{k=1}^3(k\cdot P(X=k))=1\cdot\frac35+2\cdot\frac3{10}+3\cdot\frac1{10}=1,5$ se mi zdá, že to chápu tak, že to vychází z mé logické úvahy, že to že vytáhneme bílou kuličku na 1. pokus máme pravděpodobnost 0,6; přesně na 2. pokus 0,3 a přesně na 3. pokus 0,1.
Ještě nevím, jak načrtnout grafy.

KennyMcCormick

↑ nanny1:

kde se vzal ten vzorec?

Je to speciální případ negativní hypergeometrické distribuce (str. 6). V tom nalinkovaném dokumentu používají jiné značení než já, jejich $y$ je moje $k$ a jejich $k$ je v našem případě rovno 1, protože taháme tak dlouho, dokud nevytáhneme jednu bílou kuličku.

pochopila jsem zadání tak, že pravděpodobnostní funkce určuje počet maximálních pokusů (nejvýš na 1.pokus, 2.pokus,..)

Já jsem ho pochopil tak, že určuje, na kolikátý pokus vytáhneme bílou kuličku. Píše se tam, že náhodná veličina $X$ udává počet potřebných tahů, , takže potřebujeme $k$ tahů k vytažení bílé kuličky.

Pravděpodobnost vytažení "nejvýše na $k$ pokusů" nám potom udává distribuční funkce.

distribuční funkce vychází větší než jedna

Jestli myslíš distribuční fci, kterou jsem napsal já:
$P(X\leq k)=\sum_{i=1}^k \left(\frac1{20}i^2-\frac9{20}i+1\right)$ , tak ta nevychází víc než 1. Pro $k=1$ vychází $\frac35$ , pro $k=2$ vychází $\frac9{10}$ a pro $k=3$ vychází $1$ .

Pro $k\leq 0$ se rovná nule a pro $k\geq 3$ se rovná jedné. Tyhle dva případy jsem do toho vzorce původně nenapsal, doplním je tam.

Je to jasný?

KennyMcCormick

↑ Fobl:
BTW, oba mi můžete tykat. :-)

Chtěl bych se zeptat u té pravděpodobnostní funkce, zda výše uvedený výpočet lze brát jako konečný výsledek.

Ano, když tam doplníš případy pro $k\leq0$ a $k>3$ . Takže to bude vypadat takhle:
$P(X= k)=\left\lbrace\begin{aligned} 0\:\text{pro}\:k\leq 0 \\ \frac1{20}k^2-\frac9{20}k+1\:\text{pro}\:k=1,2,3 \\ 0\:\text{pro}\:k>3 \end{aligned}\right$ .

Zkoušel jsem si vypočítat k

$k$ je počet tažení. Je to proměnná. Nemůžeš ho vypočítat. :-)

Přemýšlím nad jednou věcí, čemu se rovná ${{{5-3}\choose {k-1}}}$

${{5-3}\choose {k-1}}={2\choose{k-1}}=\frac{2!}{(k-1)!(2-[k-1])!}=\frac2{(k-1)!(3-k)!}$

Vím, že $i^{2}=-1$

$i$ jsem použil jenom jako proměnnou. V sumách se proměnná, která se v každém dalším členu zvyšuje o jedničku, často označuje jako $i$ .

S konstantou $i$ to nesouvisí, ta se v našem výpočtu vůbec nevyskytuje.

Promiň, že jsem tě zmátl.

Kladu si ještě otázku, zda se nemá ještě vypočítat řada u této distributivní funkce.

Jaká řada?

U střední hodnoty se mi zdá, že (...)

Ano, správně.

Ještě nevím, jak načrtnout grafy.

Jak pravděpodobnostní funkce, tak distribuční funkce (EDIT: distribuční fce ne) jsou definované pouze na celých číslech, tzn. nebudou to čáry, ale jenom body.

Na celých číslech, která budou $\leq0$ a $>3$ , vyneseš do grafu hodnotu 0.
Pro $k=1$ bude hodnota v grafu $\frac35$ , pro $k=2$ to budou $\frac3{10}$ a pro $k=3$ to bude $\frac1{10}$ . (Obvykle se vodorovná osa značí jako $x$ . Já píšu $k$ , abych neporušoval značení, které jsem už zavedl předtím.)

Co se týče distribuční fce, pro $k=1$ vychází $\frac35$ , pro $k=2$ vychází $\frac9{10}$ a pro $k=3$ vychází $1$ . Pro $k\leq0$ je to $0$ a pro $k>3$ je to $1$ .

Je to všechno srozumitelný?

KennyMcCormick · 05. 12. 2013 19:30

↑ Fobl:
Ta distribuční fce bude definovaná na celém $\mathbb{R}$ , sorry.

Nejdřív jsem myslel, že to budou jenom celá čísla, protože neceločíselný počet tažení nedává smysl.

Ale ono je zvykem ji dodefinovávat i mezi těmi čísly, aby to vytvořilo takové schody.

Distribuční fce bude vypadat takhle:

Na intervalu $(-\infty;1)$ bude nabývat hodnotu $0$ .

Na intervalu $<1;2)$ bude nabývat hodnotu $\frac35$ .

Na intervalu $<2;3)$ bude nabývat hodnotu $\frac9{10}$ .

A na intervalu $<3;\infty)$ to bude hodnota $1$ .

Fobl · 05. 12. 2013 20:13 — Editoval Fobl (05. 12. 2013 20:29)

Takže ${{{5}\choose {k-1}}}$ by v tom případě bylo $\frac{5!}{(5-(k-1))!\cdot (k-1)!}=\frac{120}{(6-k)!\cdot(k-1)! }$ a $\frac{{{5-3}\choose {k-1}}}{{5\choose {k-1}}}=\frac{\frac2{(k-1)!(3-k)!}}{\frac{120}{(6-k)!\cdot(k-1)! }}=\frac{\frac2{1}}{\frac{120}{(6-k)(5-k)(4-k) }}$ . Když na to koukám, tak to takhle $P(X=k)=\frac{{{5-3}\choose {k-1}}}{{5\choose {k-1}}}\cdot \frac{3}{5-k+1}=\frac{(5-k)(4-k)}{5\cdot4}=\frac1{20}k^2-\frac9{20}k+1$ vychází ta pravděpodobností funkce , jak si již uváděl.

KennyMcCormick · 05. 12. 2013 20:26

Ano, správně.

nanny1 · 06. 12. 2013 12:06

↑ KennyMcCormick: Super, děkuju moc. :)

KennyMcCormick · 06. 12. 2013 15:38

Není zač. :-)

Matematické Fórum

#1 04. 12. 2013 17:02

Pravděpodobnost

#2 04. 12. 2013 21:41 — Editoval KennyMcCormick (05. 12. 2013 17:55)

Re: Pravděpodobnost

#3 05. 12. 2013 09:40

Re: Pravděpodobnost

#4 05. 12. 2013 17:31 — Editoval Fobl (05. 12. 2013 19:08)

Re: Pravděpodobnost

#5 05. 12. 2013 17:37 — Editoval KennyMcCormick (05. 12. 2013 17:38)

Re: Pravděpodobnost

#6 05. 12. 2013 18:29 — Editoval KennyMcCormick (05. 12. 2013 19:31)

Re: Pravděpodobnost

#7 05. 12. 2013 19:30

Re: Pravděpodobnost

#8 05. 12. 2013 20:13 — Editoval Fobl (05. 12. 2013 20:29)

Re: Pravděpodobnost

#9 05. 12. 2013 20:26

Re: Pravděpodobnost

#10 06. 12. 2013 12:06

Re: Pravděpodobnost

#11 06. 12. 2013 15:38

Re: Pravděpodobnost

Zápatí