Matematické Fórum

Sherlock · 02. 12. 2013 19:50

Docela nechápu část důkazu z tohoto:
$(a^r+ b^r)^\frac{1}{r} \geq (a^s+ b^s)^\frac{1}{s}$

Píšou: Protože nerovnost je homogenní (stupně 1), můžeme bez újmy na obecnosti předpoklá-
dat, že $a^{r}+b^{r}=1$

Jakto že to můžeme předpokládat?

BakyX · 02. 12. 2013 19:57

$a,b$ sú kladné a navyše je homogenná. Preto nerovnosť platí pre $a,b$ práve vtedy, keď platí pre $ka,kb$ , kde $k$ je kladné (dosadením overíš)...Ak položíme $k=\sqrt[r]{\frac{1}{a^r+b^r}}$ , tak máme, že tá nerovnosť platí práve vtedy, keď platí za podmienky $a^r+b^r=1$ ...

Sherlock · 06. 12. 2013 17:30

Dobře, ale odkud jsi vzal to $k=\sqrt[r]{\frac{1}{a^r+b^r}}$ ? Pořád mi to tam nějak nepasuje

BakyX · 06. 12. 2013 20:26

↑ Aktivní:

Pre také $k$ pre nové premenné $a',b'$ platí $a'^r+b'^r=1$

vanok · 06. 12. 2013 23:14

Uzitocna poznamka :

Polozme $a^r+b^r= R$
potom
$\frac {(a^s+b^s)^{\frac 1s}}{(a^r+b^r)^{\frac 1r}}= \frac {(a^s+b^s)^{\frac 1s}} {R^{\frac 1r}}=$( \frac {a^r}R)^{\frac sr}+ \frac {b^r}R)^{\frac sr} $^{\frac 1s} \le $ ( \frac {a}R)^r+ \frac {b}R)^r $^{\frac 1s} =1$

Sherlock

Zdravím. Pořád mi to není úplně jasné, přijde mi to takový prostě divný, a tak bych ten důkaz (ten jaký je tady strana 6) chtěl rozebrat zde.

$a,b \ge 0$ a $s\ge r$
$(a^r+ b^r)^\frac{1}{r} \geq (a^s+ b^s)^\frac{1}{s}$

bez újmy na obecnosti v rámci dokazování můžeme zavést* $(a^r+ b^r)^\frac{1}{r} =k$ , v tomto případě $k=1$

*protože ty výrazy jsou homogenní. u nehomogenních se to nedá, je to tak?

$(a^r+ b^r)^\frac{1}{r} =1$
$a^r+ b^r =1$
$b =\sqrt[r]{1-a^{r}}$ , odtud vznikne podmínka $a\le 1$

Dál píšou že pro $0\ge x\ge 1$ platí $x^{s}\le x^{r}$ , a tak teda pro $a\le 1$ a $b\ge 0$ musí platit $a^{s}+b^{s}\le a^{r}+b^{r}$ , z čehož vyplývá že $a^{s}+b^{s}\le 1$ z čehož vyplývá že $(a^{s}+b^{s})^{\frac{1}{s}}\le 1$

vanok · 09. 12. 2013 18:20 — Editoval vanok (09. 12. 2013 18:21)

Ahoj,
Ta homogenita je to co som trosku inac vyuzil. Ide o to delenia z tym R.
A v tvojom texte sa robi to iste, az na to, ze ked pisem a/R, b/R pisu a , b z tym ze je to medzi 0 a 1.
( a ako je naznacene na zaciatku riesenia cvicenia v texte, vdaka homogenite co dokazes v tom pripade je platne aj pre lubovolne nasobky a , b.)

Matematické Fórum

#1 02. 12. 2013 19:50

Nerovnost, homogenita

#2 02. 12. 2013 19:57

Re: Nerovnost, homogenita

#3 06. 12. 2013 17:30

Re: Nerovnost, homogenita

#4 06. 12. 2013 20:26

Re: Nerovnost, homogenita

#5 06. 12. 2013 23:14

Re: Nerovnost, homogenita

#6 09. 12. 2013 17:53 — Editoval Aktivní (09. 12. 2013 17:59)

Re: Nerovnost, homogenita

#7 09. 12. 2013 18:20 — Editoval vanok (09. 12. 2013 18:21)

Re: Nerovnost, homogenita

Zápatí