Matematické Fórum

alste · 06. 12. 2013 22:10

Zdravím, nevím si rady s tímto zadáním:
Rozhodněte, kolik řešení má v oboru reálných čísel nelineární rovnice. Své rozhodnutí zdůvodněte a definujte intervaly $I_{k}\subset \mathbb{R}$ tak, aby každý z nich obsahoval právě jedno řešení.
Rovnice které se mají vyšetřit jsou:

$\sin x = 8$

$5\ln x + 3 * 5^{x} = -2$

Z internetu jsem vyčetl že se mají najít body nespojitosti funkce i zderivované funkce ale nějak se v tom ztrácím. Mohl by mi někdo popsat detailnější způsob řešení? Díky

jelena · 07. 12. 2013 00:44

Zdravím,

v případě první rovnice $\sin x = 8$ můžeš vycházet z vlastností funkce sinus. Jaký obor hodnot má a jaký to bude mít vliv na počet řešení rovnice?

v případě druhé rovnice můžeš rovnici upravit tak abys porovnával 2 funkce, co znáš (zde logaritmickou a exponenciální):

$3\cdot 5^{x}+2=-5\ln x$ Z takového tvaru se podaří odvodit počet řešení? Je jasné chování funkcí?

Z internetu jsem vyčetl že se mají najít body nespojitosti funkce i zderivované funkce

To by chtělo doplnit odkazem (určitě definiční obory funkce třeba použit + derivace může prospět k nalezení řešení, ale v odkazu bude více jasné, jak to bylo myšleno). Úplně ideální je odkaz na Váš studijní materiál - bude jasné, jak podrobné zdůvodnění má být. Děkuji za upřesnění.

Jan Jícha · 07. 12. 2013 00:50

Zdravím vás, takový menší návod - http://forum.matweb.cz/viewtopic.ph … 99#p334199

jelena · 07. 12. 2013 01:02

↑ Jan Jícha:

Také zdravím a děkuji, to bude kolegovi určitě více k užitku (přímo od zdroje) :-)

alste · 07. 12. 2013 11:34 — Editoval alste (07. 12. 2013 11:54)

Díky všem, především za ten odkaz. Když se snažím ten postup aplikovat na rovnici $\sin x = 8$ tak nějak nemůžu vyčíst výsledek.
Definičním oborem je $\mathbb{R}$ .
Derivace $f'(x) = cos x$ , když jí položím nule tak $cos x = 0$ - cosinus je nulový v $\frac{\pi }{2}$
Dosadím do $f(\frac{\pi }{2})=sin\frac{\pi }{2} = 1$
Mám souřadnice stacionárního bodu $A[\frac{\pi }{2};1]$
Druhá derivace $f''(x)=-sin x$
$f''(\frac{\pi }{2})=-sin \frac{\pi }{2}=-1$ - po dosazení x souřadnice A

a v tuhle chvíli jsem trošku zmatený, mohl by mi někdo vysvětlit k čemu jsem se dostal?

jelena · 07. 12. 2013 13:00

alste napsal(a):
a v tuhle chvíli jsem trošku zmatený, mohl by mi někdo vysvětlit k čemu jsem se dostal?

to také nevím. Já jsem předpokládala, že pro $\sin x = 8$ je dostačující viz ↑ příspěvek 2:. Ale snad by jsi mohl "svou cestou" prokázat, že funkce sin(x) má maximum y=1 a minimum y=-1, pokud je třeba procvičit celý postup (ovšem s porozuměním účelu jednotlivých kroků).

Jinak kosinus je nulový v $\frac{\pi }{2}+k\pi$ , $k \in \mathbb{Z}$

alste · 08. 12. 2013 00:02

Pokud je obor hodnot fce sinus $<-1;1>$ tak $\sin x = 8$ nemá řešení? Je to správně?
V rámci snahy o pochopení jsem našel ještě jeden příklad a sice:
$x\ln (3x)=-\frac{1}{3e}$
můj výpočet je následující:
Definiční obor fce je $x > 0 \Rightarrow D(f)=(0;\infty )$
$f'(x) = \ln (3x) + 1$
Derivaci položím 0 $f'(x) = \ln (3x) + 1 = 0$ a tady wolframalpha říká že je výsledek $\frac{1}{3e}$ , ovšem mě vychází $\frac{-e}{3}$
po dosazení $\ln (3x)=-ln(e)$ dostanu že $3x = -e \Rightarrow x = \frac{-e}{3}$ .
V čem dělám chybu?

jelena · 08. 12. 2013 00:45

↑ alste:

ano, ohledně $\sin x = 8$ závěr v pořádku.

V úloze $x\ln (3x)=-\frac{1}{3e}$ je po tomto kroku: $\ln (3x)=-\ln(e)$ chyba v použití pravidel počítání s log, má být ještě krok: $\ln (3x)=\ln (e^{-1})$ je to vidět? Děkuji.

alste · 08. 12. 2013 11:21

Ano, už to vidím, děkuji.
V mém příkladu $x\ln (3x)=-\frac{1}{3e}$ mi hodnota $\frac{1}{3e}$ rozdělila $\mathbb{R}$ na $(-\infty;\frac{1}{3e})$ a $(\frac{1}{3e};\infty)$ .
Pokud vypočtu $f(\frac{1}{3e})=-\frac{1}{3e}$ , platí, že má rovnice právě jedno řešení? Děkuji

jelena · 08. 12. 2013 21:04

rozdělila $\mathbb{R}$ na $(-\infty;\frac{1}{3e})$ a $(\frac{1}{3e};\infty)$ .

R nemohla rozdělit, jelikož def. obor byl (0, +oo).

Pokud jsem nic nepřehlédla, na def. oboru máme jeden extrém (minimum) v $x=\frac{1}{3e}$ , pokud hodnota funkce v tomto bodě je přesně stejná, jako pravá strana rovnice, potom ano, je to jediné řešení na celém def. oboru (to už mi vyšlo stejně).

Matematické Fórum

#1 06. 12. 2013 22:10

Nelineární rovnice

#2 07. 12. 2013 00:44

Re: Nelineární rovnice

#3 07. 12. 2013 00:50

Re: Nelineární rovnice

#4 07. 12. 2013 01:02

Re: Nelineární rovnice

#5 07. 12. 2013 11:34 — Editoval alste (07. 12. 2013 11:54)

Re: Nelineární rovnice

#6 07. 12. 2013 13:00

Re: Nelineární rovnice

alste napsal(a):

#7 08. 12. 2013 00:02

Re: Nelineární rovnice

#8 08. 12. 2013 00:45

Re: Nelineární rovnice

#9 08. 12. 2013 11:21

Re: Nelineární rovnice

#10 08. 12. 2013 21:04

Re: Nelineární rovnice

Zápatí