Matematické Fórum

bella · 08. 12. 2013 00:21 — Editoval bella (08. 12. 2013 00:22)

Mohla by som vas poprosit o pomoc s nasledujucim prikladom:

Na svete je 10 000 reaktorov. Pravdepodnobnost, ze nastane nehoda reaktora je $10^{-5}$ . Vypocitajte meze intervalu, ktory by mal obsahovat pocet nehod reaktora s pravdepodobnostou $90\%$ .

Riesenie

Mame nahodnu velicinu Xi, ktora nadobuda hodnotu 1 ak nastane nehoda
0 ak nenastane nehoda

Nahodna velicina X ma alternativne rozdelenie s parametrom p= $10^{-5}$ .
n = 10 000, S je sucet nahodnych velicin X, nEX= $10^{-1}$ , nVarX= $\sqrt{10^{-1}}$

$\mathbb{P}(-\ a \le \frac {S -\ nEX}{\sqrt{nVarX}} \le a ) = 0.9$

V rieseni je napisane, ze cislo a= 1.65 ale mne vyslo, ze a = 0.85.

A teraz neviem, ze ktore z nich je spravne.. :/

Jj · 08. 12. 2013 10:12

↑ bella:

Dobrý den,
řekl bych, že problém může být v tom, že by spodní hranice intervalu neměla být
'-a' , ale nula.

bella · 08. 12. 2013 11:19

↑ Jj:

preco 0 ?

KennyMcCormick

↑ Jj:
$-a$ je spodní hranice 90% intervalu, ve kterém se může ocitnout normovaná normální veličina, kterou získáme použitím centrální limitní věty. $0$ je spodní hranice 90% intervalu počtu poruch reaktoru.

↑ bella:

nVarX= $\sqrt{10^{-1}}$

Mělo být:
$\sqrt{n\text{Var}X}=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{10\:000\cdot10^{-5}(1-10^{-5})}=\sqrt{0,099\:999}\doteq0,316\:23$ .
Ale ono se to stejně ztratí v zaokrouhlovacích chybách.

V rieseni je napisane, ze cislo a= 1.65 ale mne vyslo, ze a = 0.85.

a = 1,65, ale to není řešení, je to jenom hodnota, pro kterou má normovaná normální veličina horní hranici toho 90% intervalu.

Není to něco, co bys měla spočítat, normálně si to najdeš v tabulkách.

Teď vyřešíme soustavu nerovnic
$\frac{S-nEX}{\sqrt{n\text{Var}X}}\leq1,65$
a
$\frac{S-nEX}{\sqrt{n\text{Var}X}}\geq-1,65$ .

Upravíme do tvaru
$S\leq1,65\sqrt{n\text{Var}X}+nEX\wedge S\geq-1,65\sqrt{n\text{Var}X}+nEX$

Po dosazení číselných hodnot a vyřešení dostaneš ten 90% interval, který jsi hledala:
$S\in \langle-0,42\:178;0,62\:178\rangle$

OK?