Matematické Fórum

Fobl · 08. 12. 2013 17:20

Dobrý den.
Nejsem si právě jist, zda řešení tohoto příkladu je zcela správné.
Mám příklad.
Určete vzdálenost mimoběžek a, b

a: $X = [-2,-3,2]+t (4,2,-1),$
b: $X = [1,6,2]+s (0,1,-1).$

Řešil jsem to takhle:
$\overrightarrow{QP}=(-3,-9,0)+t_{p}(4,2,-1)-s_{q}(0,1,-1)$ tj.
$\overrightarrow{QP}=(-3+4t_{p};-9+2t_{p}-s_{q};-t_{p}+s_{q})$
$\vec{a}\cdot \overrightarrow{QP}=\vec{b}\cdot \overrightarrow{QP}=0$
$\vec{a}\cdot \overrightarrow{QP}=-12+16t_{p}-18+4t_{p}-2s_{q} +t_{p}-s_{q}=21t_{p}-3s_{q}-30=0$
$\vec{b}\cdot \overrightarrow{QP}=-9+2t_{p}-s_{q}+t_{p}-s_{q}=3t_{p}-2s_{q}-9=0$

$21t_{p}-3s_{q}-30=0$
$3t_{p}-2s_{q}-9=0$

$21t_{p}-3s_{q}=30$
$3t_{p}-2s_{q}=9$

$42t_{p}-6s_{q}=60$
$-9t_{p}+6s_{q}=-27$

$33t_{p}=33$
$t_{p}=1$

$s_{q}=-3$

$P=[2,-1,1]$ $Q=[1,3,5]$
$d(a,b)=|QP|=|(1,-4,-4)|=\sqrt{33}$

vanok · 08. 12. 2013 19:06

Ahoj ↑ Fobl:,
Poznamka:
Iste mas skripta... a v nich ste ne robili nic na tuto temu?
Normalne by som zacal takto:
Priamka a: $X = [1,6,2]+s (0,1,-1)$ zo smerovym vektorom $\vec a =(0, 1,-1)$ a iduca cez bod $A=[1,6,2]$
a priamka b: $X = [-2,-3,2]+t (4,2,-1)$ zo smerovym vektorom $\vec b=(4, 2,-1)$ iduca cez bod $B=[-2,-3,3]$
su mimobezne.
Ich spolocna kolmica je priesecik dvoch rovin:
$p_1:(A; \vec a, \vec a \wedge \vec b)$
$p_2:(B; \vec b, \vec a \wedge \vec b)$ .
Oznacme $M,N$ , ich prieseciky z $a,b$ .

A az od tialto by som pokracoval....

Fobl · 08. 12. 2013 20:30 — Editoval Fobl (08. 12. 2013 20:32)

Jelikož jsem ve skriptech příklad na určení mimoběžek nenašel, hledal jsem ho na internetu a tam je podobný příklad řešený na následujících stránkách: http://dagles.klenot.cz/rihova/vzdalenosti.pdf na stránce 13 a 14. Zkusil jsem použít 1. způsob, jen nevím zda jsem ten způsob užil správně.

nanny1 · 08. 12. 2013 20:40

Ahoj ↑ Fobl:, řešené příklady jsou na starým Trialu http://trial.kma.zcu.cz/main.php?podObs … /7&v=0 , předmět G1 -> [1] -> kapitola 7. Jinak mi taky vyšlo $\sqrt{33}$ . :) Já zas ještě nemám ten 1. příklad.

vanok · 08. 12. 2013 20:45 — Editoval vanok (08. 12. 2013 23:15)

↑ Fobl:,
Ja som ti nikde nenapisal, co pises nie je spravne. Len som ti ukazal inu cestu, ktora sa da jednoducho geometricky representovat.
Bonus.
Ak bod $M'\in a$ a bod $N'\in b$ mame $\overrightarrow {M'M}= \alpha \vec a$ a $\overrightarrow {NN'}=\beta \vec b$
A preto $||\overrightarrow {M'N'}||^2=||\overrightarrow{MN} +(\overrightarrow{M'M}+\overrightarrow{NN'})||^2=||\overrightarrow{MN}||^2+||\alpha \vec a+\beta \vec b||^2$
(Lebo $\overrightarrow{MN}$ je linearne zavisle na $\vec a\wedge \vec b$ a $\alpha \vec a+\beta \vec b$ ortogonalne na $\vec a\wedge \vec b$ )
Z toho $||M'N'|| \ge ||MN||$ ( rovnost len a len ked $\alpha =\beta=0$ , cize $M'=M, N'=N$ )
Akoze $d(a,b)= \inf \{||M'N'|| ; M \in a, N \in b \}$ ....

Tak ci tak treba dokazat, ze je to jedinne mozne riesenie... A to je objekt bonusu!

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Tak dobre pokracovanie.

Fobl · 08. 12. 2013 20:57 — Editoval Fobl (08. 12. 2013 21:01)

Ahoj.
Tak to budeme mít nejspíš správně, když nám to vyšlo stejně, pokud nám to vyšlo nezávisle na sobě. Jen jsem to nemohl na trialu najít. Na 1. příklad se budu muset ještě podívat a na 2. se taky ještě podívám, ale zdá se mi, že podobný je na trialu pod 8. tématem jako 10, akorát že tam se počítala velikost výšky vrcholu C a my máme počítat velikost výšky vrcholu D.

Matematické Fórum

#1 08. 12. 2013 17:20

Vzdálenost mimoběžek

#2 08. 12. 2013 19:06

Re: Vzdálenost mimoběžek

#3 08. 12. 2013 20:30 — Editoval Fobl (08. 12. 2013 20:32)

Re: Vzdálenost mimoběžek

#4 08. 12. 2013 20:40

Re: Vzdálenost mimoběžek

#5 08. 12. 2013 20:45 — Editoval vanok (08. 12. 2013 23:15)

Re: Vzdálenost mimoběžek

#6 08. 12. 2013 20:57 — Editoval Fobl (08. 12. 2013 21:01)

Re: Vzdálenost mimoběžek

Zápatí