Matematické Fórum

aivos · 09. 12. 2013 19:12 — Editoval aivos (09. 12. 2013 20:00)

Zdravím, potřeboval bych poradit s příkladem na rozvoj taylorovy řady, moc si nevím rady jak to udělat...

$f(z)=z^{3}sinz$

$z_{0}=0$

Mohl by mi s tím někdo pomoci?
Díky

Jj · 09. 12. 2013 19:33

↑ aivos:

Dobrý večer,
řekl bych, že můžete rozvést do řady funkci sin(x) a tento vynásobit $_{x^3}$ .

aivos · 09. 12. 2013 19:46

Pokud rozvedu do řady sin(z) tak dostanu, pokud se nemýlím něco ve tvaru

$sin(z)=\sum_{n=0}^{inf}\frac{(-1)^{n}}{n!}z^{n}$

Ale z toho nejsem moc chytrý jak tam zakomponovat to $x^{3}$

Jj · 09. 12. 2013 19:53 — Editoval Jj (10. 12. 2013 08:58)

↑ aivos:

V dotazu máte uvedeno f(x), tak jsem bral proměnnou x:

$x^3sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}x^{n+3}$

Edit: Špatně - Omylem použit nesprávný rozvoj funkce sinus.

aivos · 09. 12. 2013 20:01

Aha tak to jsem napsal špatně, je to z ale to je jedno... takže toto je podle vás výsledek? No děkuji za pomoc :) Snad to bude správně :)

Jj · 09. 12. 2013 20:26

↑ aivos:

Samozřejmě na to můžete jít přes derivace - pak třeba tady:

http://um.mendelu.cz/maw-html/index.php … orm=taylor

aivos · 09. 12. 2013 20:31

↑ Jj:

Ano rozklad na polynom bych nějak zvládl, já se ale potřebuji vždy dopracovat k řadě, tedy výsledku se sumou... Nejhorší je, že si to není kde ověřit, ať do wolframu zadám co chci, nikdy mi nevyjde to co jsme vyřešili nahoře, ale wolfram mi vyhodil po zadání taylor expansion z^3sin(z)
//forum.matweb.cz/upload3/img/2013-12/17457_WolframAlpha--taylor_expansion_z3sinz--2013-12-09_1330.gif

Bati · 09. 12. 2013 22:20

↑ Jj:↑ aivos:
Zdravím,
podstatné je, že Taylorova řada sinu je
$\sin{x}=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\ldots=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
a ne to, co jste zde uváděli.

aivos · 09. 12. 2013 22:29 — Editoval aivos (09. 12. 2013 22:33)

↑ Bati:

to hodně vysvětluje :) Mohu se tedy zeptat, jak by to bylo ještě s tím $z^{3}$ nebo resp. $x^{3}$ ?

předpokládám že takto
//forum.matweb.cz/upload3/img/2013-12/17457_WolframAlpha--taylor_expansion_z3sinz--2013-12-09_1330.gif

Bati · 09. 12. 2013 22:42

↑ aivos:
Přesně tak, ale ještě s tím jde "zalézt" do sumy a vyjádřit to opravdu jako mocninnou řadu.

aivos · 09. 12. 2013 22:49

↑ Bati: no a to bych právě asi potřeboval, ale netuším jak na to...

Jj · 10. 12. 2013 08:51

↑ Bati: ↑ aivos:

Tedy úvaha byla dobře, ptákovina v záměně snad nejznámějšího rozvoje funkce v potenční řadu. Vůbec mi to nepřišlo. Takže omluva.

Bati · 10. 12. 2013 09:57

↑ Jj:
To se stane. To, co jsi psal byl mimochodem rozvoj $e^{-x}$ , jinak bych si toho možná ani nevšiml.

↑ aivos:
Dejme tomu, že mám třeba
$x^3\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^nx^3=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n+3}=\sum_{n=3}^{\infty}a_{n-3}x^{n}$ ,
přičemž ta poslední úprava je nepovinná.

aivos · 10. 12. 2013 22:58

↑ Bati:

Paráda, takže mohu kdyžtak zkontrolovat, že finální výsledek bude :

$\sum_{n=0}^{\infty}=(-1)^{n}\frac{z^{2n+4}}{(2n+1)!}$

Takto?

Bati · 11. 12. 2013 09:28 — Editoval Bati (11. 12. 2013 09:28)

↑ aivos:
Ano, jen to rovnítko je tam nějak divně. Nebo taky můžu ještě posunout index o 2 a dostat
$\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}\frac{z^{2n}}{(2n-3)!}$

Matematické Fórum

#1 09. 12. 2013 19:12 — Editoval aivos (09. 12. 2013 20:00)

Taylorova řada

#2 09. 12. 2013 19:33

Re: Taylorova řada

#3 09. 12. 2013 19:46

Re: Taylorova řada

#4 09. 12. 2013 19:53 — Editoval Jj (10. 12. 2013 08:58)

Re: Taylorova řada

#5 09. 12. 2013 20:01

Re: Taylorova řada

#6 09. 12. 2013 20:26

Re: Taylorova řada

#7 09. 12. 2013 20:31

Re: Taylorova řada

#8 09. 12. 2013 22:20

Re: Taylorova řada

#9 09. 12. 2013 22:29 — Editoval aivos (09. 12. 2013 22:33)

Re: Taylorova řada

#10 09. 12. 2013 22:42

Re: Taylorova řada

#11 09. 12. 2013 22:49

Re: Taylorova řada

#12 10. 12. 2013 08:51

Re: Taylorova řada

#13 10. 12. 2013 09:57

Re: Taylorova řada

#14 10. 12. 2013 22:58

Re: Taylorova řada

#15 11. 12. 2013 09:28 — Editoval Bati (11. 12. 2013 09:28)

Re: Taylorova řada

Zápatí