Matematické Fórum

kowtnaak · 24. 01. 2009 13:59

zdravim, nevíte někdo jak řešit toto? :

$\frac{3*2^n+(-3)^n}{3^n-2^{2n}}$

mělo by to vyjít 0

O.o · 24. 01. 2009 14:03

↑ kowtnaak:

Ahoj .),

jestli je to limita, nechybí tam zápis pro limitu?

Chrpa · 24. 01. 2009 14:03

↑ kowtnaak:
Zadání je takovéto?

Určete, pro která n je výraz roven nule?

Protože tak jak to máš napsané je to jenom nějaký výraz,
který by šel jaksi upravit (a to ještě dost těžko)

kowtnaak · 24. 01. 2009 14:03

jj sry zkusim to předělat

kowtnaak

${\lim}\limits_{n \to \infty}\frac{3*2^n+(-3)^n}{3^n-2^{2n}}$

jo takle

lukaszh · 24. 01. 2009 19:19

↑ kowtnaak:
$\lim_{n\to\infty}\frac{3\cdot2^n+(-3)^n}{3^n-4^{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}$
Upravím tvar zápisu postupnosti a_n:
$a_n=3\cdot2^n+(-3)^n=3\cdot2^n+(-3)(-3)^{n-1}=3\cdot$2^n-(-3)^{n-1}$$
Dosadím spätne do zadania a vyjmem pred limitu číslo 3:
$3\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{2^n-(-3)^n}{3^n-4^{n}}$
Keďže tam cykluje 3 medzi kladnou +3 a zápornou -3 tak rozoberiem dva prípady:
Nech n je párne, potom:
$n=2k\,;\;k\in\mathbb{N}$
$3\cdot\lim_{k\to\infty}\frac{2^{2k}-3^{2k}}{3^{2k}-4^{2k}}=3\cdot\lim_{k\to\infty}\frac{2^{2k}}{3^{2k}-4^{2k}}-3\cdot\lim_{k\to\infty}\frac{3^{2k}}{3^{2k}-4^{2k}}=3\cdot0-3\cdot0=\boxed{0}$
Nech n je nepárne:
$n=2k-1\,;\;k\in\mathbb{N}$
$3\cdot\lim_{k\to\infty}\frac{2^{2k-1}+3^{2k-1}}{3^{2k-1}-4^{2k-1}}=3\cdot\lim_{k\to\infty}\frac{2^{2k-1}}{3^{2k-1}-4^{2k-1}}+3\cdot\lim_{k\to\infty}\frac{3^{2k-1}}{3^{2k-1}-4^{2k-1}}=3\cdot0+3\cdot0=\boxed{0}$
Obe limity sú zhodné, teda celková limita je 0.