Matematické Fórum

Katka1994 · 10. 12. 2013 20:22

Dobrý den, prosím moc o kontrolu příkladu! :-)

Určete tečnu ke grafu funkce $f:y=\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}$ v bodě $T[\frac{\pi }{4},y_{0}]$

Dosazením do předpisu funkce jsem zjistila, že bod má souřadnice $T[\frac{\pi }{4},0]$

Směrnice je rovna první derivaci funkce.

Budu derivovat jako podíl ...

$\frac{(\sin x-\cos x)'(\sin x+\cos x)-(\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x)'}{(\sin x+\cos x)^{2}}$

$\frac{(\sin x+\cos x)^{2}-(\sin x-\cos x)^{2}}{(\sin x+\cos x)^{2}}$

$\frac{(\sin x+\cos x+\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x-\sin x+\cos x)}{(\sin x+\cos x)^{2}}$

$\frac{4\sin x\cos x}{(\sin x+\cos x)^{2}}$

$\frac{2\sin 2x}{(\sin x+\cos x)^{2}}$

$f'(\frac{\pi }{4})=\frac{2\sin 2\frac{\pi }{4}}{(\sin \frac{\pi }{4}+\cos \frac{\pi }{4})^{2}}=1$

Tečna má směrnici 1 ...

Sestavíme rovnici tečny v daném bodě ...

$y-0=1(x-\frac{\pi }{4})$

$x-y-\frac{\pi }4{=0}$

Katka1994 · 10. 12. 2013 22:08

↑ Katka1994:

Prosím moc o kontrolu, pokud by byl někdo tak hodný! :-)

bonifax · 10. 12. 2013 22:20

Ahoj,

řekl bych, že v derivaci je chyba, hned v druhém řádku na konci.

$(sinx+cosx)'=cosx-sinx$

Honzc · 11. 12. 2013 07:41 — Editoval Honzc (11. 12. 2013 07:43)

↑ Katka1994:
Derivace má vyjít viz. Zde, ale směrnice bude zase $k=1$

zdenek1 · 11. 12. 2013 10:26

↑ Katka1994:
jen malý doplněk
$\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}=\frac{\sin x-\sin(\frac\pi2-x)}{\sin x+\sin(\frac\pi2-x)}=\frac{2\cos\frac\pi4\sin(x-\frac\pi4)}{2\sin\frac\pi4\cos(x-\frac\pi4)}=\tan(x-\frac\pi4)$

a to se derivuje mnohem lépe.

Matematické Fórum

#1 10. 12. 2013 20:22

Tečna goniometrické funkce

#2 10. 12. 2013 22:08

Re: Tečna goniometrické funkce

#3 10. 12. 2013 22:20

Re: Tečna goniometrické funkce

#4 11. 12. 2013 07:41 — Editoval Honzc (11. 12. 2013 07:43)

Re: Tečna goniometrické funkce

#5 11. 12. 2013 10:26

Re: Tečna goniometrické funkce

Zápatí