Matematické Fórum

Miki1990

člen binomického rozvoje výrazu $(\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}+x^5)^69$ neobsahující proměnnou x je roven kombinačnímu číslu:
a) ${69\choose 9}$
b) ${69\choose 12}$
c) ${69\choose 16}$
d) ${69\choose 20}$
e) ${69\choose 26}$

Děkuji předem .. jsem bezradná ..

marnes · 24. 01. 2009 21:57

↑ Miki1990:Začal bych tím, že si vytvořím rovnici. Na levo 69 nad k-1 krát druhý člen z dvojčlenu na k-1 krát první člen na 70 - k a na pravé straně písmeno A krát x na nultou. To A na pravo je rovno všem číselným výrazům z levé strany, s tím nemusím počítat. Zůstanou jen mocniny proměnné x a vytvoříme rovnici z exponentů, která je jednoduchá a získáme hodnotu k. Pak vyberem z nabízených možností

mikee · 24. 01. 2009 22:05 — Editoval mikee (24. 01. 2009 23:50)

Takze podme sa na to pozriet :)
Vyraz si napiseme v tvare $$x^{-\frac{3}{4}}+x^5$^{69}$ . Teraz z binomickej vety $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}{{n \choose k}a^k b^{n-k}}$ vidime, ze aby nejaky clen tohto binomickeho rozvoja neobsahoval premennu x, tak musi platit, ze $a^kb^{n-k}=1$ . Po dosadeni: $$x^{{-\frac{3}{4}}$^k \cdot $x^5$^{69-k}=1$ , jednoduchymi upravami z toho dostaneme, ze $x^{-\frac{3k}{4}+5(69-k)}=1$ , z coho $-\frac{3k}{4}+5(69-k)=0$ . Toto je jednoducha linearna rovnica, ktorej riesenim je cislo $k=60$ . Tento clen binomickeho rozvoja sa teda bude rovnat ${69 \choose 60} \cdot 1 = {69 \choose 60}$ a vyuzitim pravidla ze ${n \choose k}={n \choose {n-k}}$ dostavame, ze ${69 \choose 60}={69 \choose {69-60}} = {69 \choose 9}$ . Spravna odpoved je teda A :)

marnes · 24. 01. 2009 22:05

↑ Miki1990:Navíc si myslím, že jde vybrat i úvahou, že exponent prvního členu 3/4, aby byl číslo celé, tak musí být umocněn násobkem 4, což je jedině za a)

lukaszh

↑ mikee:
EDIT: Moja pripomienka bola úspešne akceptovaná :)

mikee · 24. 01. 2009 23:51

↑ lukaszh:
Uff, mas pravdu, dakujem :) Uz som to opravil... :)

Miki1990 · 25. 01. 2009 10:28

moc vám děkuju, zvlášť mikee, krásně jsem to pochopila :) jste fakt profíci :))

mikee · 25. 01. 2009 12:58

↑ Miki1990: Nie je za co, vdaka :)))

Matematické Fórum

#1 24. 01. 2009 21:29 — Editoval Miki1990 (24. 01. 2009 21:30)

Binomická věta

#2 24. 01. 2009 21:57

Re: Binomická věta

#3 24. 01. 2009 22:05 — Editoval mikee (24. 01. 2009 23:50)

Re: Binomická věta

#4 24. 01. 2009 22:05

Re: Binomická věta

#5 24. 01. 2009 23:44 — Editoval lukaszh (24. 01. 2009 23:54)

Re: Binomická věta

#6 24. 01. 2009 23:51

Re: Binomická věta

#7 25. 01. 2009 10:28

Re: Binomická věta

#8 25. 01. 2009 12:58

Re: Binomická věta

Zápatí