Matematické Fórum

Ahoj,
napadla mě dvě tvrzení, se kterými si nevím rady a chtěla bych spíše jen poradit než hledat na internetu (protipříklad nebo názak důkazu nebo jen názor).

Tvrzení 1: L konečný distributivní svaz, S množina všech jeho spojově ireducibilních prvků, pak existuje řetězec R svazu o mohutnosti |S|+1.

Tvrzení 2: L konečný distributivní svaz, pak existuje antiřetězec A takový, že má maximální mohutnost (neexistuje antiřetězec s více prvky) a je složen jen ze spojově ireducibilních prvků.

Níže definice spojové ireducibility a věta o vnoření konečného distributivího svazu do svazu .

Skrytý text:
Definice spojove ireducibility: svaz, .
Řekneme, že je spojově ireducibilní, právě když není nejmenší a platí .

Takže v konečných svazech je spojově ireducibilní právě takový prvek, který má právě jednoho bezprostředního předchůdce.

Věta: konečný distributivní svaz, pak existuje vnoření ,
kde .
Důkaz (náznak): pro označíme . V konečných svazech je
.
Platí triviálně (v každém svazu):
a . Navíc u distributivních je .
Hledané vnoření je .

P(S) značí potenční množinu množiny S.