Matematické Fórum

Ginco · 24. 01. 2009 19:35

Prosim o radu...

Mam výrok V1 a V2

$V_1 = \exists{a}\in{R} \forall{\epsilon>0}\exists{n_0\in{N}}\forall{n\in{N}}: {n>n_0} \rightarrow {|a_n -a|<\epsilon}$ kde šipka do prava značí implikaci;tento výrok je konvergence posloupnosti {a_n}

$V_2 = \exists{a}\in{R} \forall{\epsilon>0}\forall{n_0\in{N}}\exists{n\in{N}}: {n>n_0} \rightarrow {|a_n -a|<\epsilon}$

Úkol : rozhodni zda platí : V1 => V2, V2 => V1, V1 <=> V2

osobně si myslím, že druhý výrok určuje konvergenci libovolné konstantní posloupnosti {a_n}, myslím si to, neboť pokud to platí pro všechna $n_0$ , ktere jsou menší než $n$ , tak ta posloupnost musí být "konvergentní" již od prvního členu n až do posledního, což zaručuje jedině konstantní posloupnost. Můj osobní názor je ten, že platí jen V2 => V1...pokud je posloupnost konstantní, tak je i konvergentní...jinak předem děkuji za kritiku :-D

lukaszh

↑ Ginco:
Myslím, že môže byť, ale ešte by som počkal na ďalšie reakcie. A okrem toho myslím, že pre konštantnú postupnosť by výrok:
Pre konštantnú postupnosť by podľa mňa platilo:
$\forall{\varepsilon\,>\,0}\;\forall{n_0\in\mathbb{N}}\;\forall{n\in\mathbb{N}}\,:\;n\,>\,n_0\;\Rightarrow\;|a_n -a|\,<\,\varepsilon$
tiež sedel.

Ginco · 24. 01. 2009 20:59 — Editoval Ginco (24. 01. 2009 21:01)

↑ lukaszh:

V podstatě ten index n_0 je takový malý rošták, který mi určuje "odkdy" ta posloupnost konverguje, pokud tedy je to pro všechna n_0, tak by posloupnost měla konvergovat kdykoliv
Ted akorát netušim, jakou roli tam hraje ten existenční vs obecný kvantifikátor hraje roli....bud žádnou nebo posloupnost neexistuje?

lukaszh · 24. 01. 2009 21:08

↑ Ginco:
Ja si myslím, že tam môže byť aj jeden ako aj druhý. Možno také zamotané vysvetlenie: Ak je tam existenčný kvantifikátor, tak ten hovorí, že existuje konkrétne n s uvedenou vlastnosťou. Lenže zároveň to platí pre všetky n_0 a sme obmedzený limitou a. Teda postupnosť konverguje a je konštantná. Ak je tam všeobecný kvantifikátor, tak ten "nekúskuje" postupnosť tým, že hovorí, že také n existuje, ale rovno povie, že všetky n majú danú vlastnosť. Čiže existenčný kvantifikátor akokeby rekurentne popisoval ten istý jav, že zvolím n_0 nájdem n, potom iné n_0 a nájdem n atď až do nekonečna. Lenže všeobecný kvantifikátor povie že všetky za zvoleným n majú tú vlastnosť. Teda je to to isté. Aspoň myslím.

Ginco · 24. 01. 2009 21:19

↑ lukaszh:

ale výsledek je stejný ne? je tedy konstantní

Pavel B · 24. 01. 2009 21:27

↑ Ginco:

V1: Existuje limita posloupnosti.
V2: Existuje hromadný bod posloupnosti.

Ginco · 24. 01. 2009 21:51

↑ Pavel B:

prosim a jak jsi na to prisel?

Pavel B · 24. 01. 2009 21:57

↑ Ginco:

Např pro posloupnost $a_n=(-1)^n$ pro každé $n_0$ existuje $n>n_0$ takové, že $|a_n-1|=0<\varepsilon$ (je to libovolné sudé n). A není to konstantní posloupnost.

Ginco · 24. 01. 2009 22:34

↑ Pavel B:

posloupnost ocividne diverguje ci osciluje....kde je tedy ten hromadný bod?

Pavel B · 24. 01. 2009 22:53

Nejsem si jistý definicí hromadného bodu, podle http://en.wikipedia.org/wiki/Limit_point by posloupnost $a_n=(-1)^n$ neměla hromadné body. Ale myslím, že pokud se u posloupností mluví o hromadném bodě, pak se myslí takový bod, že existuje vybraná podposloupnost taková, že její limita je ten bod. Prosím, ať se vyjádří zkušenější.

U posloupnosti $a_n=\frac1n+(-1)^n$ jsou už ale určitě dva hromadné body a to -1 a 1.

lukaszh · 25. 01. 2009 00:02

↑ Pavel B:
Výborne, myslím, že si rozlúštil túto hádanku. Je zaujímavé, že poriadne nevieš čo je to hromadný bod a to čo je na najťažšie si vyriešil. Myslím, že máš talent a budeš ho rozvíjať. K tomu hromadnému bodu: Aj postupnosť (-1)^n má dva hromadné body. Sú to 1 a -1.
↑ Ginco:
Skutočne myslím, že ide o hromadný bod. A príklad, ktorý uviedol ↑ Pavel B: je dobrý kontrapríklad na konštantnú funkciu. Výrok, ktorý som napísal ja tu: ↑ lukaszh: je o konštantnej funkcií. Je to zapríčinené práve tým všeobecným kvantifikátorom.

Kondr · 25. 01. 2009 00:02

Ano, první výrok odpovídá existenci limity, druhý existenci hromadného bodu. Posloupnost $a_n=(-1)^n$ má hromadné body 1 a -1.
http://cs.wikipedia.org/wiki/Hromadn%C3 … sloupnosti . Co se týče té definice z anglické wiki, tam mi připadá divné, že se to vztahuje na topologické prostory.

lukaszh · 25. 01. 2009 00:04

↑ Kondr:
Wikipédii ťažko veriť. Aj ja tam sem-tam prihodím článok, takže mi neverte :)

Kondr · 25. 01. 2009 00:08

↑ lukaszh:Taky mám na české wiki článek, taky jí nevěřím. Ale tentokrát se shodla s tím, co si pamatuju, tak jsem jen podložil svůj názor odkazem.

↑ lukaszh:Ano, PavelB aka BrozekP má opravdu talent. Ale o tom nás, myslím, přesvědčil už tak o 900 příspěvků dříve :)

lukaszh · 25. 01. 2009 00:09

↑ Kondr:
To myslíš vážne??? :-) To je BrozekP?

Ginco · 25. 01. 2009 00:17

pokud má posloupnost právě jeden hromadny bod, tak je konvergentní a naopak že?

tedy platí V1<=>V2 ? ovšem nejsem si tím jist, protože pokud to platí pro všechna n_0, tak nevím, zda má jen jeden hromadný bod...nebo?

lukaszh · 25. 01. 2009 00:20

↑ Ginco:
Ja by som to dal V1 => V2 ale som úplne zmätený :(

Pavel · 25. 01. 2009 00:58 — Editoval Pavel (25. 01. 2009 01:20)

Já bych rozlišoval dva různé pojmy, hromadný bod a hromadná hodnota.

hromadná hodnota - limita vybrané posloupnosti

hromadný bod - bod, v jehož libovolném epsilonovém okolí leží alespoň jeden bod posloupnosti různý od hromadného bodu.

Pokud má posloupnost hromadný bod, pak tento je i hromadná hodnota. Opačné tvrzení neplatí, viz posloupnost $a_n=(-1)^n$ .

$a_n=(-1)^n$ nemá hromadné body, ale pouze 2 hromadné hodnoty, 1 a -1.

Ginco · 25. 01. 2009 01:36

↑ Pavel:

dik jsem zase o neco chytrejsi, ale stejne nevim, jak interpretovat tu mutaci ty limity

Pavel · 25. 01. 2009 03:03

↑ Ginco:

Výrok V1 říká, že od jistého n_0 platí nerovnost s absolutní hodnotou pro všechna n větší než n_0 bez výjimky. Jinak řečeno maximální počet členů, pro který neronvost nemusí platit, musí být konečný.

Výrok V2 říká, že pro každé n_0 nerovnost s abs. hodnotou platí pro nějaké n větší než n_0. Jinak řečeno nerovnost platí pro nekonečně mnoho členů dané posloupnosti. Podmínka V2 je daleko slabší, protože maximální počet členů, pro které nerovnost nemusí platit, může být nekonečný.

V1 implikuje V2. V2 neimplikuje V1.

Ginco · 25. 01. 2009 04:21

tak z toho vyplva, ze V2 zaručuje existenci již zmíněné hromadné hodnoty...tou bude hodnota posloupnosti {a_n}, která byla přiřazená od indexu n, protože to platí pro všechny indexyn_0 tak prvek n musí být jasně posledním prvkem množiny indexů.Pochopil jsem to správně? Protoýe pokud by platilo jak napsal Pavel : "Jinak řečeno nerovnost platí pro nekonečně mnoho členů dané posloupnosti. " , pak by byla posloupnost konstantni ne?

Pavel · 25. 01. 2009 10:33 — Editoval Pavel (25. 01. 2009 10:34)

↑ Ginco:

V2 zaručuje opravdu existenci hromadné hodnoty, to je pravda. n nebude poslední prvek, protože posloupnost je tvořena nekonečně mnoha členy a_n. O posledním prvku nemá smysl dost dobře hovořit. To složení dvou kvantifikátorů "pro všechna n_0 existuje n" znamená, že pro každý index n_0 existuje obecně různé n, takže nerovnost platí. Z V2 nevyplývá, že toto n musí být pro všechna n_0 stejné, to by dost dobře ani nešlo, viz druhý řádek tohoto příspěvku.

Pokud jde o "počet" členů posloupnosti, pro které nějaký výrok V platí, tak se nejčastěnji používá tato hierarchie:

1. V neplatí pro žádný člen
2. V platí pro konečný počet členů
3. V platí pro nekonečný počet členů
4. V platí pro všechny členy s výjimkou konečného počtu
5. V platí pro všechny členy

Nerovnost ve V2 platí pro nekonečný počet členů a platit nemusí pro konečný počet i pro nekončený počet členů.

Pavel B

↑ lukaszh:

Ano, $\text{BrozekP}\equiv\text{Pavel B}$ , Kondr mě odhalil :-)

Musím ještě něco vyřešit, než se budu moct vrátit ke svému původnímu účtu :-). (Strávil jsem nad tím už opravdu hodně času a stále se mi to nedaří dokázat :-( )

↑ Pavel:

Díky za reakci, rozlišení hromadného bodu a hromadné hodnoty to hezky vyřešilo.

Ginco · 25. 01. 2009 17:21

děkuji všem

Matematické Fórum

#1 24. 01. 2009 19:35

konvergence posloupnosti

#2 24. 01. 2009 20:19 — Editoval lukaszh (24. 01. 2009 20:19)

Re: konvergence posloupnosti

#3 24. 01. 2009 20:59 — Editoval Ginco (24. 01. 2009 21:01)

Re: konvergence posloupnosti

#4 24. 01. 2009 21:08

Re: konvergence posloupnosti

#5 24. 01. 2009 21:19

Re: konvergence posloupnosti

#6 24. 01. 2009 21:27

Re: konvergence posloupnosti

#7 24. 01. 2009 21:51

Re: konvergence posloupnosti

#8 24. 01. 2009 21:57

Re: konvergence posloupnosti

#9 24. 01. 2009 22:34

Re: konvergence posloupnosti

#10 24. 01. 2009 22:53

Re: konvergence posloupnosti

#11 25. 01. 2009 00:02

Re: konvergence posloupnosti

#12 25. 01. 2009 00:02

Re: konvergence posloupnosti

#13 25. 01. 2009 00:04

Re: konvergence posloupnosti

#14 25. 01. 2009 00:08

Re: konvergence posloupnosti

#15 25. 01. 2009 00:09

Re: konvergence posloupnosti

#16 25. 01. 2009 00:17

Re: konvergence posloupnosti

#17 25. 01. 2009 00:20

Re: konvergence posloupnosti

#18 25. 01. 2009 00:58 — Editoval Pavel (25. 01. 2009 01:20)

Re: konvergence posloupnosti

#19 25. 01. 2009 01:36

Re: konvergence posloupnosti

#20 25. 01. 2009 03:03

Re: konvergence posloupnosti

#21 25. 01. 2009 04:21

Re: konvergence posloupnosti

#22 25. 01. 2009 10:33 — Editoval Pavel (25. 01. 2009 10:34)

Re: konvergence posloupnosti

#23 25. 01. 2009 10:48 — Editoval Pavel B (25. 01. 2009 10:48)

Re: konvergence posloupnosti

#24 25. 01. 2009 17:21

Re: konvergence posloupnosti

Zápatí