Matematické Fórum

kuerten · 12. 12. 2013 17:37

Dobrý den. Prosím o pomoc s příkladem na geometrickou posloupnost.

Je dán čtverec ABCD o straně $d_{1}$ a v něm jsou postupně setrojovány čtverce o stranách $d_{2}$ , $d_{3}$ , $d_{4}$ ... tak, že vrcholy každého jsou středy stran předchozího čtverce. Určete obsah čtverce o straně $d_{4}$ .

Vím, že délky stran $d_{2}$ , $d_{3}$ , ... dopočítám přes Pythagorovo větu.
$\Rightarrow$ $d_{2} =\sqrt{(\frac{d_{1}}{2})^{2} +(\frac{d_{1}}{2})^{2}}$
Následně bych z toho měl odvodit q a určit vzorec pro geometrickou posloupnost. S tím už si, bohužel, nevím rady.

Děkuji za pomoc.

vanok · 12. 12. 2013 18:02

Ahoj
Vyuzi toto
$d_{2} =\sqrt{(\frac{d_{1}}{2})^{2} +(\frac{d_{1}}{2})^{2}}= =d_1.\sqrt{(\frac{1}{2})^{2} +(\frac{1}{2})^{2}}=d_1.\sqrt{\frac 14+\frac 14 }=d_1. \sqrt {\frac 12}=d_1. \frac {\sqrt 2}2$

kuerten · 12. 12. 2013 19:24

↑ vanok:
Takže:
$d_{2} = d_{1}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$d_{3} = d_{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$d_{4} = d_{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

A jestliže:
$a_{n+1} = a_{n}\cdot q$
a
$a_{n} = a_{1}\cdot q^{n-1}$

Potom
$d_{4}=d_{1}\cdot (\frac{\sqrt{2}}{2})^{3} = d_{1}\cdot \frac{\sqrt{2}}{4}$