Matematické Fórum

rama27 · 07. 12. 2013 13:35

Ahoj, prosím o rady typy, jak na tento problém. Díky :)

Dokažte, že množina $A_{f}$ bodů, ve kterých existuje $\lim_{t\to x+}f(t)$ ,ale f není spojitá v x, je spočetná.

Žádný svůj postup přidat nemohu, protože mě nic nenapadá :(

Brano · 07. 12. 2013 22:41

Vcelku zaujimavy priklad. Nejake ciastocne veci k tomu sa mi podarili dokazat, ale v plnom zneni nie. Si si isty, ze si nezabudol ziaden predpoklad? (Ale to asi nie.) A kde si na priklad narazil - totizto ak v nejakej knihe, tak vety okolo by mohli dost pomoct.

rama27 · 07. 12. 2013 23:33

Ahoj, takhle je to celé zadání. Je to příklad se dvěma hvězdičkama, tedy nad "rámec" ze sbírky příkladů.
Jak si na to šel ty?

Brano · 07. 12. 2013 23:58

↑ rama27:
z akej zbierky?

Rozdelil som si nejake pripady.
$1)\ \{x;\limsup_{t\to x^-}f(t)<\lim_{t\to x^+}f(t)\}$ je spocitatelne - mam
$2)\ \{x;\liminf_{t\to x^-}f(t)>\lim_{t\to x^+}f(t)\}$ je spocitatelne - to je skoro to iste
$3)\ \{x;\limsup_{t\to x^-}f(t)<f(x)\}$ je spocitatelne - mam
$4)\ \{x;\liminf_{t\to x^-}f(t)>f(x)\}$ je spocitatelne - to co predtym

a to co ostava tak to neviem

rama27 · 08. 12. 2013 09:15

Profesor nám to posílá mailem. Každopádně díky za snahu :)

jelena · 08. 12. 2013 09:53

Zdravím,

možná přispěje odkaz na materiály (i se studijním textem), kde se úloha vyskytuje v doporučených příkladech. ↑ Brano: máš dojem, že téma patří do zajímavých? Pokud ano, do které sekce mám přesunout? Zdárné dokončení přeji.

vanok · 08. 12. 2013 11:26 — Editoval vanok (08. 12. 2013 11:26)

Ahoj Brano,
mala myslienka: okolo bodu x je mozne najst taky obdznik : $[x, x+\epsilon]X [L, L']$
a dva take obdlzniky su dinjonktne ( bez spolocneho bodu).
Da sa to vyuzit?

Brano · 09. 12. 2013 11:33 — Editoval Brano (09. 12. 2013 12:01)

↑ jelena:
Je to urcite zaujmavy priklad - aj ked je to vlastne topologia, tak tym, ze sa jedna o realne funkcie to skor patri do analyzy.
↑ vanok:
ak teda vies najst taky obdlznik s nenulovum obsahom pre kazdy taky bod tak, ze budu vzdy po dvoch disjunktne, tak si to vyriesil, lebo v kazdom potom mozes vybrat prvok z $\mathbb{Q}^2$ , cize mas injekciu do spocitatelnej mnoziny.

Tak to prosim trosku rozpis.

EDIT: ale myslim, ze takto ti to neprejde, protiprikladom by mala byt fcia $f(0)=1$ , $f(1/n)=1/n$ a inak $f(x)=0$ .

rama27 · 09. 12. 2013 17:48

Líbí se mi ta Brunova myšlenka s limitou inf a sup, jen nevím, jak to dokončit.

Brano · 10. 12. 2013 11:27

↑ rama27:
Tie pripady sa mi zatial velmi nechcelo rozpisovat, lebo je to dost dlhe a mam pocit, ze "typicky" je prave ten pripad co nemam a keby sa podaril ten, tak by dost pravdepodobne vyriesil jednym smahom aj tie ostatne, ale ked budem mat trochu casu, tak to spisem.

rama27 · 10. 12. 2013 14:23

Jasný, pak budu rád, když napíšeš. Taky nad tím s přestávkama přemýšlím.

vanok · 11. 12. 2013 11:50 — Editoval vanok (11. 12. 2013 14:34)

↑ Brano:,
Ano to moje funguje napr. ak funkcia je striktne rastuca.

Tvoj protipriklad je funkcia, co ma spocetny pocet bodov nespojitosti.
Édit.
V Rudinovej knihe Principles of mathematical analysis, je na str. 100, podobne cvicenie.
Let f be a real function defined on (a,b). Prove that the set of points at which f has a simple discontinuity is at most countable
Je tam aj jeden zaujimavy Hint, ak chces ti ho tu napisem.

Brano · 12. 12. 2013 13:45 — Editoval Brano (12. 12. 2013 13:49)

↑ vanok:
plati veta:
$f$ je neklesajuca potom ma spocitatelny pocet bodov nespojitosti, cize tam netreba nic dodavat o limitach sprava (v skutocnosti monotonnost nam zaruci existenciu limit aj sprava aj zlava)

ten protipriklad bol proti tvrdeniu o najdeni takych obdlznikov, samozrejme, ze je asi rozumne predpokladat, ze ked je ten priklad z nejakej zbierky, tak asi bude spravny, t.j. zrejme nenajdem fciu co by mala nespocitatelne vela bodov nespojitosti a splnala to, ze ma v nich limitu sprava.

ak simple discontinuity znamena odstranitelna, alebo skokova nespojitost, tak to poznam a viem aj riesenie. vo vseobecnosti ak uz existuju limity z oboch stran, tak sa s tym robi uz dost lahko.

Ale ved napis hint, mozno to bude nieco ine ako co poznam ja a nieco z toho bude.

Brano · 13. 12. 2013 14:12 — Editoval Brano (13. 12. 2013 20:59)

Discaimer: dost som sa inspiroval http://books.google.sk/books?id=6l_E9OT … mp;f=false
Veta 5.63

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Najprv nieco o diskretnych mnozinach.

Mnozina $A\subset\mathbb{R}$ (ma to zmysel aj v metrickych priestoroch) sa nazyva e-diskretna (pre $e>0$ ), ak pre lubovolne $x,y\in A,\ x\not=y$ plati $|x-y|\ge e$ .
Mnozina $A\subset\mathbb{R}$ sa nazyva rovnomerne diskretna, ak je e-diskretna, pre nejake $e>0$ .
Plati, ze ak $A\subset\mathbb{R}$ je e-diskretna, potom pocet prvkov $A\cap[-n,n]$ je najviac $\frac{2n}{e}+1$ a teda lubovolna rovnomerne diskretna podmnozina $\mathbb{R}$ je spocitatelna.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Teraz k tym bodom nespojitosti.
Povedzme, ze $x\in\mathbb{R}$ je bod nespojitosti fcie $f$ typu
A) ak $\exists\lim_{t\to x}f(t)=L>f(x)$ , pricom $L\in\mathbb{R}^*$ .
B) ak $\exists\lim_{t\to x}f(t)=L<f(x)$ , pricom $L\in\mathbb{R}^*$ .
(pozn.: ak by tam bola rovnost, tak je to bod spojitosti)
C) ak $\lim_{t\to x^+}f(t)=L\in\mathbb{R}$ a $\lim_{t\to x^-}f(t)\not=L$ (t.j. bud neexistuje alebo existuje a nerovnaju sa)
D) to iste ako v C), len $L\in\{-\infty,\infty\}$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Tvrdenie A: Bodov nespojitosti typu A) je spocitatelne vela.
Dokaz: Ak $x$ je typu A) tak existuje nejake $q\in\mathbb{Q}$ take, ze $L>q>f(x)$ . A teda aj existuje nejake $n\in\mathbb{N}$ take, ze $\forall y\in (x-1/n,x+1/n),\ y\not=x$ plati $f(y)>q$ .
Definujme
$J_{q,n}=\left\lbrace x\in\mathbb{R};\ \forall y\in \left(x-\frac{1}{n},x+\frac{1}{n}\right),\ y\not=x \text{ plati }f(y)>q>f(x)\right\rbrace.$
Vsimnime si, ze $J_{q,n}$ je (1/n)-diskretna.
Ak by totiz nebola, tak by existovali $x,y\in J_{q,n}$ , $x<y$ a $y-x<1/n$ . Potom ale $x\in (y-1/n,y)$ a teda $f(x)>q>f(y)$ , ale tiez $y\in (x,x+1/n)$ a teda $f(y)>q>f(x)$ co je spor.
Cize $J_{q,n}$ je spocitatelna a kedze vsetky body nespojitosti typu A) patria do mnoziny $\bigcup_{q\in\mathbb{Q},n\in\mathbb{N}}J_{q,n}$ - tak ich moze byt najviac spocitatelne vela.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Tvrdenie B: Bodov nespojitosti typu B) je spocitatelne vela.
Dokaz: analogicky s dokazom Tvrdenia A, resp. transformacia $g=-f$ to prevedie priamo na ten pripad.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Tvrdenie C: Bodov nespojitosti typu C) je spocitatelne vela.
Dokaz: Ak $x$ je typu C) tak z toho, ze $\lim_{t\to x^-}f(t)\not=L$ vieme najst take $q,r\in\mathbb{Q}$ , ze $L\in(q,r)$ a $\forall t<x$ musi existovat $z\in (t,x)$ splnajuci $f(z)\not\in (q,r)$ . Ale na druhu stranu z toho ze $\lim_{t\to x^+}f(t)=L$ musi existovat $n\in\mathbb{N}$ take, ze $\forall y\in (x,x+1/n)$ plati $f(y)\in (q,r)$ .
Definujme
$J_{q,r,n}=\left\lbrace x\in\mathbb{R};\ \forall t<x \exists z\in (t,x):f(z)\not\in(q,r)\ \&\ \forall y\in \left(x,x+\frac{1}{n}\right):f(y)\in(q,r)\right\rbrace.$

Vsimnime si, ze $J_{q,r,n}$ je (1/n)-diskretna.
Ak by nebola, tak by existovali $x,y\in J_{q,r,n}$ , $x<y$ a $y-x<1/n$ . Teda musi existovat $z\in(x,y)$ take, ze $f(z)\not\in(q,r)$ . Lenze $z\in (x,x+1/n)$ a teda $f(z)\in(q,r)$ co je spor.

Cize $J_{q,r,n}$ je spocitatelna a kedze vsetky body nespojitosti typu C) patria do mnoziny $\bigcup_{q,r\in\mathbb{Q},n\in\mathbb{N}}J_{q,r,n}$ - tak ich moze byt najviac spocitatelne vela.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Tvrdenie D: Bodov nespojitosti typu D) je spocitatelne vela.
Dokaz: Analogicky s predchadzajucim - treba uvazovat mnoziny $J_{q,n}^+$ , resp. $J_{r,n}^-$ kde vystupuju intervaly $(q,\infty)$ , resp $(-\infty,r)$ .

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Veta: Bodov nespojitosti $x\in\mathbb{R}$ funkcie $f$ v ktorych existuje $\lim_{t\to x^+}f(t)$ je spocitatelne vela.
Dokaz: Vsetky take body nespojitosti su jedneho z typov A) az D).