Matematické Fórum

asd1234 · 13. 12. 2013 11:20

Zdravím,
chtěl bych poprosit o kontrolu následujícího příkladu, jelikož už je to docela dávno co jsem naposledy dělal s komplexními čísly a navíc mi tady vychází trošku nepěkné čísla....

Zadání je vyjádřit následující čísla v algebraickém tvaru:

$z=\frac{1-i\sqrt{3}}{1+i\sqrt{3}}, v=z^2, w=\sqrt[3]{v}$

z jsem si upravil, vyšlo mi:
$z=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

v mi poté vyšlo:
$|z| = 1$
$\alpha = -\frac{2\pi }{3}$
$v= 1^2*(\cos(2*\frac{-2\pi }{3}) +i\sin(2*\frac{-2\pi }{3}) ) =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$

Až po sem mi to vychází docela pěkne a tuším i správně. Ale u výpočtu w už to jde trošku z kopce.
Vychází mi:
$k_{0} = \cos\frac{-4\pi }{9} + i\sin \frac{-4\pi }{9}$
$k_{1} = \cos(\frac{-4\pi }{9}+\frac{2\pi }{3}) + i\sin(\frac{-4\pi }{9}+\frac{2\pi }{3})$
$k_{2} = \cos(\frac{-4\pi }{9}+\frac{4\pi }{3}) + i\sin(\frac{-4\pi }{9}+\frac{4\pi }{3})$

Což mi ale nejde vyjádřit v algebraickém tvaru, jelikož vycházejí škaredá, dlouhá desetinná čísla. Takže někde asi bude chyba a nemůžu ji najít...

Díky předem za pomoc.

Rumburak

↑ asd1234:

Zdravám také.

Vypadá to správně. Shrňme, co je algebraický a co goniometrický tvar k.č.

Algebraický : $a = a_1 + a_2\,\mathrm{i}$ , kde $a_i$ jsou reálná čísla.

Goniometrický : $a = r (\cos \alpha + \mathrm{i}\,\sin \alpha) , r > 0$ , pokud $a \neq 0$ .

Roznásobíme-li závorku z g. tvaru číslem $r$ , dostaneme

$a = r \cos \alpha + \mathrm{i}\,r \sin \alpha = r \cos \alpha + (r \sin \alpha) \, \mathrm{i}$ ,

což odpovídá alg. tvaru pro $a_1 = r \cos \alpha , a_2 = r \sin \alpha$ . Když zde umíme čísla $a_i$ vyjárřit "inteligentněji",
tím lépe, ale když to nejde, rozumný matematikář by měl tento výsledek jako algebraický tvar uznat.

Honzc · 13. 12. 2013 13:49

↑ Rumburak:
Zdravím,
jenom malá poznámka: ve vztahu $a = r \cos \alpha + \mathrm{i}\,r \sin \alpha = r \cos \alpha + (\sin \alpha) \, \mathrm{i}$ ti vypadlo jedno r tedy $a = r \cos \alpha + \mathrm{i}\,r \sin \alpha = r \cos \alpha +r (\sin \alpha) \, \mathrm{i}$

Rumburak · 13. 12. 2013 15:44

↑ Honzc:

Děkuji , opraveno.

asd1234 · 13. 12. 2013 15:58

Takže vypočítané je to správně. Dobrá, díky :)

Rumburak · 13. 12. 2013 16:30

↑ asd1234:

Při prvním čtení jsem numerické detaily kontroloval jen sběžně.

Hodnota $z=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$ mi vychází také, dalšími úpravami máme

$z=-$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\, \mathrm{i}$ = -$\cos \frac{\pi}{3} + \mathrm{i}\,\sin \frac{\pi}{3}$$ ,

takže

$v = z^2=(-z)^2 =$\cos \frac{\pi}{3} + \mathrm{i}\,\sin \frac{\pi}{3}$^2 = \cos \frac{2\pi}{3} + \mathrm{i}\,\sin \frac{2\pi}{3}$ .

Je možno pracovat i s argumentem k.č. mimo interval $\langle 0, 2\pi)$ , jak činíš Ty, ale já to nepreferuji (asi síla zvyku).

Matematické Fórum

#1 13. 12. 2013 11:20

Vyjádření C v algebraickém tvaru.

#2 13. 12. 2013 12:38 — Editoval Rumburak (13. 12. 2013 15:43)

Re: Vyjádření C v algebraickém tvaru.

#3 13. 12. 2013 13:49

Re: Vyjádření C v algebraickém tvaru.

#4 13. 12. 2013 15:44

Re: Vyjádření C v algebraickém tvaru.

#5 13. 12. 2013 15:58

Re: Vyjádření C v algebraickém tvaru.

#6 13. 12. 2013 16:30

Re: Vyjádření C v algebraickém tvaru.

Zápatí