Matematické Fórum

lukaszh

↑↑ smiesek:
Tvoj chybný postup spočíva v "parciálnom limitovaní" funkcie. "Kúskuješ" funkciu a limituješ ju po častiach čo ťa vedie k nesprávnym výsledkom. Keby som použil tvoj postup na limitu
$\cancel{\lim_{n\to\infty}$1+\frac{1}{n}$^n=1^{\infty}=1}$
tak dostanem zlý výsledok. Inak neviem prečo si použila l'Hospitalovo pravidlo na limitu:
$\lim_{x\to1}x\ln x$
keď stačí dosadiť. 1 krát 0 je nula. Teraz celý postup aby sme to uzavreli:

Je možné, že som sa pomýlil pri derivovaní.

smiesek · 25. 01. 2009 07:55

↑ lukaszh:
děkuji za vysvětlení a taktéže za názornou ukázku postupu řešení limity, nyní jsem se i já již dopočítala k výsledku -2

Proto si dovolím tvrdit stejný postup na mé druhé zadání limity

zadání 2
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%200}\frac{a^x-a^sinx}{x^3}$ kde $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=a%3E0$

můj postup při řešení
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%200}\frac{exp(x*a)-exp(sinx*a)}{x^3}%3D\frac{e^0-e^0}{x^3}%3D\frac{0}{0}$

mezi výpočet
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%200}x*a%3D0*1%3D0$
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%200}sinx*a%3D0*1%3D0$

L´H
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%200}\frac{(x*a)*exp(x*a)-(sinx*a)*exp(sinx*a)}{3x^2}%3D$
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%200}\frac{a%2Bx*exp(x*a)-cosx*a%2Bsinx*exp(sinx*a)}{3x^2}%3D$

po tuto část jsem se dostala při derivaci čitatele a jmenovatele
ostatně jsem se tu i zasekla, neboť by šlo možná něco vytknout, ale nevím jak to upravit do přijatelné podoby pro další použití L´H

děkuji za kontrolu a případný nápad na další řešení

lukaszh · 25. 01. 2009 11:01

↑ smiesek:
Opäť pripomínam vzťah:
$\red\boxed{a^x=\exp(x\ln a)\,;\;a\ne0}$
Teda pri tejto limite treba správne dosadiť:
$\lim_{x\to0}\frac{a^x-a^{\sin x}}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\exp(x\ln a)-\exp(\sin x\ln a)}{x^3}$
Túto limitu by som však l'Hospitalovým pravidlom počítal až po niekoľkých úpravách:
$\lim_{x\to0}\frac{\exp(x\ln a)-\exp(\sin x\ln a)}{x^3}=\lim_{x\to0}\left[\exp(\sin x\ln a)\left\(\frac{\exp(x\ln a-\sin x\ln a)-1}{x^3}\right)\right]=1\cdot\lim_{x\to0}\frac{\exp(x\ln a-\sin x\ln a)-1}{x^3}$
Dostal som tam limitu typu:
$\red\boxed{\lim_{x\to0}\frac{\exp x-1}{x}=1}$
Teraz sa pokúsim aplikovať túto, na pôvodnú:

V poslednom kroku som využil známu limitu:
$\red\boxed{\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}}$

Matematické Fórum

#26 24. 01. 2009 18:44 — Editoval lukaszh (25. 01. 2009 10:45)

Re: Limita

#27 25. 01. 2009 07:55

Re: Limita

#28 25. 01. 2009 11:01

Re: Limita

Zápatí