Matematické Fórum

TerezaG · 14. 12. 2013 21:16

Zdravím všechny,
potřebuji poradit s příkladem, kde mám najít všechny asymptoty ke grafu funkce.

$f(x)=\frac{\ln (x+2)}{x^2-1}$

Princip hledání asymptot znám.
Nejprve si tedy určím definiční obor, tj $x+2>0$ a jmenovatel se nesmí rovnat 0.
Potom hledám svislé asymptoty tak, že hledám jednostranné limity v krajních bodech intervalů D(f).
Vodorovné asymptoty najdu tak, že hledám limitu v nekonečnu a tato asymptota existuje, pokud mi výjde nějaké číslo.
Šikmé asymptoty pak najdu podle vzorce pro $y=kx+q$ . pro limitu v nekonečnu.

Teoreticky bych to zvládla, ale mám problém u tohoto příkladu, že mi nevychází podle výsledků ani ten definiční obor, pak nevím, jak mám hledat limitu, když tady mám ten logaritmus.

Děkuji moc.

marnes · 14. 12. 2013 21:21 — Editoval marnes (14. 12. 2013 21:25)

↑ TerezaG:

Definiční obor:
$x+2>0\Rightarrow x>-2$
$x^{2}-1\not =0\Rightarrow x\not =\pm 1$

Závěr:
$x\in (-2;\infty )-\{\pm 1\}$

tu limitu bych zkusil Hospitalovým pravidlem

TerezaG · 14. 12. 2013 21:26

↑ marnes:
Dobře, takhle to chápu, pojďme tedy dál a pak napíšu, co mi není jasné.
Uděláme limitu. abychom zjistili svislé asymptoty:
$\lim_{x\to-2+}\frac{\ln (x+2)}{x^2-1}$ teď už nevím, co s tím :/
Potom by se měla hledat ještě limita, kde x jde k nule, tj. ten Definiční obor musí být někde přerušen v nule... nebo ne ?

marnes · 14. 12. 2013 21:32

↑ TerezaG:

když x půjde k mínus dvojce, pak čitatel jde do mínus nekonečna a jmenovatel k trojce, takže jde do mínus nekonečna

definiční obor je přerušen v $\pm 1$ , což by taky měly být svislé asymptoty

TerezaG · 14. 12. 2013 22:12

↑ marnes:
Ve výsledku mám tedy, že svislá asymptota je v -2 a pak v 0, takže se musím poptat, jestli tam není chyba.
Děkuji.

No a teď ty vodorovné asymptoty, jak na to ?

Děkuji moc.

marnes · 14. 12. 2013 22:22

↑ TerezaG:
Hm, tak to nevím. Já bych napsal další dvě svislé x=1 a x=-1. Navíc si to můžeš zkontrolovat na http://www.wolframalpha.com/

vodorovné neznám. Ale třeba patří mezi ty se směrnicí

zdenek1 · 14. 12. 2013 23:16

↑ TerezaG:
Takže Def. obor je OK $D_f=(-2;-1)\cup(-1;1)\cup(1;\infty)$

limity
v -2 $\lim_{x\to-2+}\frac{\ln (x+2)}{x^2-1}=-\infty$ není problém, jak píše ↑ marnes:. Je to typ "-nekonečno/číslo", takže tam bude svislá asymptota.
v +1 taky není problém $\lim_{x\to1}\frac{\ln (x+2)}{x^2-1}$ neexistuje, zleva to utíká k $-\infty$ a z prava k $\infty$ , takže taky svislá asymptota.

v -1 je to typ "0/0", takže l´Hospital
$\lim_{x\to-1}\frac{\ln (x+2)}{x^2-1}=\lim_{x\to-1}\frac{\frac{1}{x+2}}{2x}=-\frac12$
takže tady asymptota není.

Asymptoty se směrnicí (mezi ně patří i vodorovná - směrnice nula)
v $-\infty$ nemá cenu hledat, není to v $D_f$
v $\infty$
$k=\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x+2)}{x(x^2-1)}=0$
$q=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{\ln(x+2)}{x^2-1}-0\right)=0$

Takže asymptota se směrnicí je $y=0$ (a je vodorovná)

marnes · 14. 12. 2013 23:27

↑ zdenek1:
Taky díky

TerezaG · 15. 12. 2013 15:16

↑ zdenek1:
Dobře, chápu, ale prosím ještě o vysvětlení, jak nejdu tu limitu v nekonečnu ? Budu dosazovat? vytýkat, neo jak ?
Jinak, opravdu děkuji moc.

zdenek1 · 15. 12. 2013 17:24

↑ TerezaG:
je to typ "nekonečno/nekonečno" takže l´Hospitalem

Matematické Fórum

#1 14. 12. 2013 21:16

Asymptoty ke grafu funkce

#2 14. 12. 2013 21:21 — Editoval marnes (14. 12. 2013 21:25)

Re: Asymptoty ke grafu funkce

#3 14. 12. 2013 21:26

Re: Asymptoty ke grafu funkce

#4 14. 12. 2013 21:32

Re: Asymptoty ke grafu funkce

#5 14. 12. 2013 22:12

Re: Asymptoty ke grafu funkce

#6 14. 12. 2013 22:22

Re: Asymptoty ke grafu funkce

#7 14. 12. 2013 23:16

Re: Asymptoty ke grafu funkce

#8 14. 12. 2013 23:27

Re: Asymptoty ke grafu funkce

#9 15. 12. 2013 15:16

Re: Asymptoty ke grafu funkce

#10 15. 12. 2013 17:24

Re: Asymptoty ke grafu funkce

Zápatí