Matematické Fórum

karkula · 14. 12. 2013 21:37

Dobrý den,
nevím si rady s tímto integrálem: (x^3+3)/(x^3+x)
na parciální zlomky to rozdělit nejde, dělení polynomů taky ne a nevím jakou substituci bych měla použít...
Děkuji za odpověď :)

Freedy · 14. 12. 2013 22:17

$\int_{}^{}\frac{x^3+3}{x^3+x}dx=\int_{}^{}\frac{x^3}{x(x^2+1)}dx+\int_{}^{}\frac{3}{x(x^2+1)}dx$
$\int_{}^{}\frac{x^2}{x^2+1}dx+3\int_{}^{}\frac{dx}{x(x^2+1)}dx$
tyto integrály už zvládneš:
a)
$\int_{}^{}\frac{x^2}{x^2+1}dx=\int_{}^{}1dx-\int_{}^{}\frac{1}{x^2+1}dx$

b)
$3\int_{}^{}\frac{dx}{x(x^2+1)}$
$\frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$
jednoduše zjistíš:
$A=1$
$B=-1$
$C=0$
$3\int_{}^{}\frac{dx}{x(x^2+1)}=3\int_{}^{}\frac{1}{x}dx-3\int_{}^{}\frac{x}{x^2+1}dx$