Matematické Fórum

Palok · 22. 01. 2009 15:38

Nemohli byste mi nekdo vysvetltit jak zjistim pocet grupoidu napriklad na relaci (z10, +) ?
Vim ze ma 4 podgrupy {z0} {z0,z5} {z0,z1,z2,z3,z4,z5,z6,z7,z8,z9} {z0,z2,z4,z6,z8} hasseovský diagram vypadá zřejmě

10
/ \
2 5
\ /
1

ale ty grupoidy vim akorat ze je to mnozina uzavrena vzhledem k operaci, takze jich je stejne jako podgrup?diky

musixx · 22. 01. 2009 16:05 — Editoval musixx (22. 01. 2009 16:05)

↑ Palok: Hodne zmatene zadani. Predpokladam, ze mas zkonstruovat hasseovsky diagram vsech podgrupoidu zadaneho grupoidu. Zadany grupoid $({\mathbb Z}_{10},+)$ je nahodou grupou.

Obecne v grupach existuji podgrupoidy, ktere samy nejsou podgrupami, takze podgrupoidu nemusi byt v grupe stejne jako podgrup (priklad: kladna cisla v $({\mathbb Z},+)$ ).

Konstruujme ted poradne podgrupoidy:

1. Jen $([0]_{10},+)$

2. Pokud obsahuje $[1]_{10}$ , pak obsahuje vsechno (jen z uzavrenosti operace).

3. Pokud obsahuje $[2]_{10}$ , pak take obsahuje $[4]_{10}$ , $[6]_{10}$ , $[8]_{10}$ a $[0]_{10}$ .

4. Pokud obsahuje $[3]_{10}$ , tak take $[6]_{10}$ , $[9]_{10}$ , $[9]_{10}+[3]_{10}=[2]_{10}$ , $[9]_{10}+[2]_{10}=[1]_{10}$ , a tedy jej uz mame.

a tak dale.

Ve svem reseni jsi vypsal vsechno a mas to i dobre. Mohl jsem aplikovat nejake vety z konecnych abelovskych grup, ktere by nam ledacos o vztahu podgrup a podgrupoidu rekly, ale nechme si je pro sebe ti, co je zname, at nemateme...

Palok · 22. 01. 2009 16:28

díky za vysvetleni takze tahle grupa ma zrovna 4 grupoidy. Tak ještě pro ujištění kdyz budu mit grupu treba (Z5, *) Tak ta ma 2 podgrupy {0} {0,1,2,3,4} ale i jenom 2 grupoidy?

musixx · 22. 01. 2009 16:51

↑ Palok: Ano, az na to, ze grupa nema zadne grupoidy, ale podgrupoidy.

Palok · 25. 01. 2009 11:01

↑ musixx:

jeste bych mel dotaz, nasel jsme jedno tvrzeni:
U 2-prvkové množiny počet grupoidů se rovná počtu různých možností vyplnění tabulky operací grupoidu. Např. A*A=B nebo B*A=A.

* || A | B |
-------------
A || B | A |
B || A | A |
-------------

Takze tady by bylo 2 na 4 moznosti tedy 16? to by pak u (z10,+) by jich bylo 10 na 100?

mikee · 25. 01. 2009 12:51

↑ Palok:
Toto plati podla mna aj u viacprvkovej mnoziny. Grupoid (G,*) je vlastne velmi vseobecna struktura, pretoze je to mnozina G s operaciou * na tejto mnozine, takze jedine co musi splnat je, aby bola ta operacia definovana pre kazdu usporiadanu dvojicu [a,b] z kartezianskeho sucinu GxG. No a definovat operaciu tabulkou znamena vyplnit ju, a to mozeme urobit lubovolnym sposobom, len nam nesmu prvky tabulky "vyskocit" z mnoziny G, tzn. ak G je dvojprvkova a ma prvky A,B tak do tabulky dame iba tieto prvky (ale mozeme napriklad aj celu tabulku vyplnit iba prvkom A).
Rozdiel medzi (G,*) a (Z10,+) je v operacii. Kym operaciu * si mozeme definovat lubovolne, tak operacia + je uz akosi standardne na cislach urcena, takze (Z10,+) vlastne urcuje iba jediny grupoid (ktory je zaroven grupou), lebo tabulku vyplnujeme standardne podla operacie + (teda 2+3=5, 7+5=2) a tak dalej, a nie lubovolne :)

Matematické Fórum

#1 22. 01. 2009 15:38

Relace - grupoidy

#2 22. 01. 2009 16:05 — Editoval musixx (22. 01. 2009 16:05)

Re: Relace - grupoidy

#3 22. 01. 2009 16:28

Re: Relace - grupoidy

#4 22. 01. 2009 16:51

Re: Relace - grupoidy

#5 25. 01. 2009 11:01

Re: Relace - grupoidy

#6 25. 01. 2009 12:51

Re: Relace - grupoidy

Zápatí