Matematické Fórum

Brambor004 · 11. 12. 2013 16:38

Dobrý den, mám jenom jeden krátký dotaz. Mám spočítat hmotnost křívky C: $x=t, y= 4t^3$ $t = <5;7>$ kde měrná hustota dané křivky je $h(x,y)=xy$ . Jestli bych mohl poprosit někoho z vás, kdo by mi poradil, jak začít, díky.

gadgetka · 11. 12. 2013 17:21

Začala bych u objemu (určitý integrál).

zdenek1 · 11. 12. 2013 19:20

↑ Brambor004:
$m=\int_{5}^{7}h\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}\right)^2}\,\text{d}t$
$=\int_{5}^{7}4t^4\sqrt{1+(12t^2)^2}\,\text{d}t$

Brambor004 · 11. 12. 2013 22:04

↑ zdenek1: Díky, já jsem se nakonec k tomu dobabral, jen jsem to zapomněl říct. Avšak narazil jsem například, kde tímto postupem získám naprosto ošklivý integrál a jeho řešení se mi zdá moc složité. Vypadá nějak takto $\int_{1}^{3}(t-2t^4)*\sqrt{1+36t^4}$

jelena · 11. 12. 2013 23:57

↑ Brambor004:

Zdravím,

mně se nepodařilo zintegrovat ani výsledek kolegy ↑ zdenek1: (což by zas takový div v mém případě nebyl). Tobě se podařilo? Děkuji.

Brambor004 · 13. 12. 2013 14:02

↑ jelena: No, na ten prvni integral jsem nasel jeden tabulkovy vzorec, dle ktereho by se melo dostat k spravnemu vysledku. Avsak druhy integral jsem nezvladl. Kamarad z jaderky mi daval navod, ale pro me byl naprosto k nepochopeni.

Jj · 13. 12. 2013 15:29 — Editoval Jj (13. 12. 2013 16:43)

↑ Brambor004:

Podle WA vychází hodnota integrálu záporná:
$I_2=\int_{1}^{3}(t-2t^4)*\sqrt{1+36t^4}dt = -3628.78$
Není chyba v sestavení integrálu, nebo vyhovuje úloze i záporná hodnota?
Uvádím jen proto, aby se při případné chybě složitě neintegrovalo.

Doplnění:
Nějak si neumím představit "tabulkovy vzorec, dle ktereho by se mělo dostat k spravnemu vysledku"
při řešení integrálu z první úlohy: $_{I_1=\int_{5}^{7}4t^4\sqrt{1+(12t^2)^2}dt}$ .

Pokud by takový postup byl, pak by šlo řešit i druhý integrál rozdělením na dva:
$I_2=\int_{1}^{3}t\sqrt{1+36t^4}dt-2\int_{1}^{3}t^4\sqrt{1+36t^4}dt$
První je řešitelný substitucí (binomický integrál), druhý je stejného typu, jako integrál I1,
u nějž postup řešení znáte.

Nemohl byste uvést postup řešení I1 ?

jelena · 13. 12. 2013 19:10

Zdravím,

↑ Brambor004: děkuji za upřesnění.

↑ Jj: snad nějaký vzorec v tabulkách integrálu, jak např. u Rektoryse (473 vzorců), ale také si myslím, že bude lepší, když kolega upřesní. Děkuji za kontrolu výsledku pro délku, to by se mi nezdálo, pokud by byla záporná. Opět lepší, když kolega uvede celé zadání od počátku.

Brambor004 · 15. 12. 2013 12:43

↑ Jj:https://kap.fp.tul.cz/images/stories/predmety/M2B/174_Tabulka_integralu_booklet.pdf Tady je ten tabulkový vzorec. Je to číslo 64.

jelena · 15. 12. 2013 16:19

↑ Brambor004:

děkuji, ale nemám dojem, že tento vzorec v odkazu je použitelný na integrál $=\int_{5}^{7}4t^4\sqrt{1+(12t^2)^2}\,\text{d}t$ . Jak to vidí kolega ↑ Jj:? Děkuji a zdravím.

Jj · 15. 12. 2013 17:50 — Editoval Jj (15. 12. 2013 17:55)

↑ jelena:

Taky tak usuzuju. Nevím, zda kolega ↑ Brambor004: nemá povoleno
spočítat určitý integrál "strojně". Případně zda není chyba v opisu zadání.

Matematické Fórum

#1 11. 12. 2013 16:38

Hmotnost křivky

#2 11. 12. 2013 17:21

Re: Hmotnost křivky

#3 11. 12. 2013 19:20

Re: Hmotnost křivky

#4 11. 12. 2013 22:04

Re: Hmotnost křivky

#5 11. 12. 2013 23:57

Re: Hmotnost křivky

#6 13. 12. 2013 14:02

Re: Hmotnost křivky

#7 13. 12. 2013 15:29 — Editoval Jj (13. 12. 2013 16:43)

Re: Hmotnost křivky

#8 13. 12. 2013 19:10

Re: Hmotnost křivky

#9 15. 12. 2013 12:43

Re: Hmotnost křivky

#10 15. 12. 2013 16:19

Re: Hmotnost křivky

#11 15. 12. 2013 17:50 — Editoval Jj (15. 12. 2013 17:55)

Re: Hmotnost křivky

Zápatí