Matematické Fórum

Meglun · 15. 12. 2013 22:09

Ahoj, nevím jak se zbavit $tg(x)$ u limity $\lim_{x\to(\pi/2)}\sin(x)^{\text{tg(x)}}$

Meglun · 15. 12. 2013 23:32

Něco jsem našel, ale nerozumím těm logaritmům:
http://openstudy.com/updates/4f51609ce4b019d0ebafc1fd

cryogenic · 15. 12. 2013 23:56

↑ Meglun:
ahoj, jde o přepsaní na exponenciálu
Stačí pak vyřešit limitu exponentu např. pomocí l'Hospitala

Bati · 16. 12. 2013 00:06

↑ Meglun:
Ahoj,
to lze řešit i elementárně bez derivování. Úplně nejdřív bych si limitu převedl do bodu 0, protože zde máme všechny ty známé limity. To jde snadno, neboť $\sin{x}=\cos(\tfrac{\pi}2-x)$ . Takže
$\lim_{x\to\frac{\pi}2}\sin(x)^{\tan{x}}=\lim_{x\to0}\cos(x)^{\cot{x}}=\lim_{x\to0}\exp$\cot{x}\log\cos{x}$$ .
Nyní díky větě o limitě složené funkce a spojitosti exp stačí spočítat
$\lim_{x\to0}\cot{x}\log\cos{x},$
což je dobré si napsat jako
$\cot{x}\log\cos{x}=\frac{\log{\cos{x}}}{\cos{x}-1}\:\frac{\cos{x}-1}{x^2}\:\frac{x}{\sin{x}}\:x\cos{x}$