Matematické Fórum

joker · 25. 01. 2009 14:24

Prosim o pomoc:

Počet všech reálných řešení rovnice $cos4x+2sin2x=1$ v intervalu (0,2pí) je roven číslu:

Počítám:
$cos4x+2sin2x=1$

$2x=a$

$cos2a+2sina=1$

$cos^2a-sin^2a+2sina =1$

$1-sin^2a-sin^2a+2sina=1$

$-2sin^2a+2sina=0$

A co teď?

mikee · 25. 01. 2009 14:41 — Editoval mikee (25. 01. 2009 14:42)

↑ joker:
No myslim, ze tu zlozitejsiu cast prikladu si vyriesil :) Teraz rovnicu $-2sin^2a+2sina=0$ este mozme predelit cislom (-2), dostaneme $\sin^2{a}-\sin{a}=0$ , potom vyjmeme "sin a" pred zatvorku: $\sin{a}(\sin{a}-1)=0$ a tato rovnica ma riesenie vtedy a len vtedy ked $\sin{a} = 0$ alebo $\sin{a}-1 = 0$ , tuto druhu rovnicu si upravime na tvar $\sin{a}=1$ . Korenmi prvej rovnice su cisla $a=k\pi$ pre celociselne k, korenmi druhej rovnice cisla $a=\frac{\pi}{2}+2k\pi$ pre celociselne k. Teraz po spatnom dosadeni (tzv. resubstitucia) do 2x=a dostavame: $2x=k\pi$ , z coho $x=k\frac{\pi}{2}$ , a druhe $2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi$ , z coho $x=\frac{\pi}{4}+k\pi$ . Z prvej rovnice mame v intervale $(0,2\pi)$ tri riesenia a z druhej rovnice dve riesenia, spolu ma teda tato rovnica 5 rieseni.

Matematické Fórum

#1 25. 01. 2009 14:24

Goniometrická rovnice

#2 25. 01. 2009 14:41 — Editoval mikee (25. 01. 2009 14:42)

Re: Goniometrická rovnice

Zápatí