Matematické Fórum

milan.w · 16. 12. 2013 10:16

Zdravím, potřeboval bych poradit s výpočtem násl. integrálu:

$\int\sqrt{x^2+1}dx$

děkuji

aferon · 16. 12. 2013 12:03

Zdravím, zavedeš substituci.
$t=x^{2}+1$
zderivujeě
dt=2x dx

dosadíš t a zintegruješ takto: $\int_{}^{}\frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}dt=2\sqrt{t}$
a za t dáš znovu ten výraz

Jj · 16. 12. 2013 12:17

↑ paha154:

Dobrý den,
řekl bych, že tak jednoduše to nepůjde.
Zkuste per partes.

milan.w · 16. 12. 2013 12:38

↑ Jj:

zkoušel jsem eulerovu substituci, ale doufal jsem že se najde nějaké elegantnější řešení

Jj · 16. 12. 2013 12:44 — Editoval Jj (16. 12. 2013 12:53)

↑ Jj:

To jsem asi moc neporadil. Zkuste substituci x = sinht, dx = cosht dt:

$\int\sqrt{x^2+1}dx=\int\sqrt{sinh^2t+1}\cdot coshtdt=\int cos^2htdt=$
$=1/2\int (1+cosh2t)dt=1/2(t+\frac{1}{2}sinh2t)=1/2(t+coshtsinht)=$
$=1/2(x\sqrt{x^2+1}+argsinhx) + C$

Úplně jsem zapomněl, že to není až tak jednoduchý integrál.

Kontrola derivací viz Odkaz

Ještě by se to mohlo upravit podle vztahu:

$argsinhx = log(x+\sqrt{1+x^2})$