Matematické Fórum

nanny1 · 05. 12. 2013 21:49 — Editoval nanny1 (05. 12. 2013 23:49)

Dobrý den,
vím, že už tady tohle téma bylo, ale nevím, jestli jsem to dobře pochopila.. A hlavně nevím, jak se počítá samotný funkcionál přes normu. Zadání je určit normu funkcionálu na C<-1,1> předpisem f(u)= $\int_{-1}^{0}u(t) dt - \int_{0}^{1}u(t) dt$
Vím, že musím normu určovat přes normu $\parallel u\parallel =1$
, zvolila jsem funkční posloupnost $u_{n}(t)=t^{n}, t\in <-1,1>$ Norma funkcionálu tedy bude $sup_{\parallel u\parallel =1}|\int_{-1}^{0}u(t) dt - \int_{0}^{1}u(t) dt|$ Přiznám se, že moc netuším, jak dál. :( Jak naložit s normou u. Nebo jen prostě počítám supremum z integrálu? Mohl by mi prosím někdo poradit?

Edit: Koukám, že $t^{n}$ nebude fungovat.. Zkusila jsem $t^{1+n/2}$ , to vypadá ve Wolframu rozumně..
Edit 2: Vychází mi supremum 4/3 pro n=1, jestli jsem se někde nespletla.. Myslíte, že je to možný?

kompik · 06. 12. 2013 17:59 — Editoval kompik (06. 12. 2013 18:00)

↑ nanny1:
Čo tak skúsiť definovať $f_n= \begin{cases} 1&,\text{pre }x<-1/n\\ -1&,\text{pre }x>1/n\\ \end{cases}$
a na intervale (-1/n,1/n) to dodefinovať lineárne (aby to bolo spojité).

Súčasne sa oplatí všimnúť si, že
$\left\int_{-1}^0 u(t) \; dt - \int_0^1 u(t)\; dt\right|\le \int_{-1}^0 |u(t)| \; dt + \int_0^1 |u(t)| \; dt \le \int_{-1}^1 1 \; dt$

nanny1 · 11. 12. 2013 23:04 — Editoval nanny1 (11. 12. 2013 23:14)

↑ kompik: Dobrý den, děkuju za reakci.. Úkol jsem dostala zpátky na předělání, hlavně jsem tam tím předpisem napsala takovou kravinu jako sudou odmocninu ze záporného čísla.. A podle toho, co mi k tomu cvičící říkal, jsem pochopila normu funkcionálu podle všeho úplně špatně.. A mám v tom ještě větší guláš než předtím. :( Jestli to teda teď chápu správně, musím vymyslet takovou funkci, která ke všem předpokladům se bude ještě navíc po zintegrování blížit horní mezi, tj. dvojce. Říkal něco o signu, ale popravdě řečeno z toho nejsem moc moudrá. V těch funkcionálech fakt plavu. :(

Edit: Teď koukám, co jste psal výše - rozdělit ten interval. To je možná to, na co narážel tím signem. Protože ať si lámu hlavu sebevíc, nemůžu vymyslet takovou funkci, která by na celém intervalu splňovala všechny podmínky. Jenom moc nechápu to dodefinování..

Bati · 11. 12. 2013 23:32

↑ nanny1:
Ahoj,
nikde zatím ani nevidím, že bys ukázala, že je omezený, což je základ (mohlo by se taky stát, že je špatně definovaný). Začal bych proto tímto:
$|f(u)|\leq\left|\int_0^1u\right|+\left|\int_{-1}^0u\right|\leq\|u\|\Rightarrow\|f\|\leq2$
Proto je omezený (spojitý) a dobře definovaný.
Teď vyvstávají 2 otázky. Je norma f skutečně 2, nebo míň (tj. nemohli jsme to odhadnout lépe)? Nabývá f své normy na nějakém prvku? Proto se snažíme sestrojit takovou funkci, aby hodnota funkcionálu na ní byla co největší. Po chvilce koukání lze uhodnout, že ideální funkce by byla signum nebo mínus signum. Ta ale není spojitá. To znamená, že když vezmeme libovolnou posloupnost spojitých funkcí, která konverguje k signum, tak bychom měli být schopní se dvojce libovolně blízko přiblížit, z čehož pak už plyne, že $\|f\|=2$ . Taková posloupnost je např. ta, co už zde navrhoval kompik, dá se kompaktně napsat pomocí char. fcí takto:
$u_n(x)=-\chi_{[-1,-\frac{1}n]}(x)+nx\chi_{(-\frac1{n},\frac1{n})}(x)+\chi_{[\frac1{n},1]}(x)$ .
Zbývá tedy ověřit, že $|f(u_n)|\to2$ a pak zjistit jak je to s nabýváním (což je pak tak nějak už vidět).

Brano · 11. 12. 2013 23:43 — Editoval Brano (12. 12. 2013 01:37)

↑ nanny1:
Jednu taku funkciu ani nenajdes, ale staci ti postupnost funkcii, napr. ta co napisal ↑ kompik: ktorych norma bude konvergovat k tvojmu odhadu.

Cize takto
1) Na $Z=C([-1,1])$ mas supremovu normu t.j. $||u||=\sup_{x\in[-1,1]}|u(x)|$ .

2) norma funkcionalu sa da ekvivalentne pocitat takto $||F||=\sup_{u\in Z,\ u\not=0}\frac{|F(u)|}{||u||}$

Mas funkcional $F(u)=\int_{-1}^0u(t)dt-\int_0^1u(t)dt$

3) plati $|F(u)|\le\int_{-1}^1|u(t)|dt\le 2||u||$ - poriadne si to over! A teda $||F||\le 2$

4) A teraz si zober $u_n=\max\{\min\{-nx,1\},-1\}$ - nakresli si ich! to su presne tie fcie co navrhoval ↑ kompik:. Plati $||u_n||=1$ a tiez $F(u_n)=2-\frac{1}{n}$ a z toho uz je jasne ze $\sup...\ge 2$ a teda $||F||=2$ .

EDIT: pomaly som :)

nanny1 · 11. 12. 2013 23:53

↑ Bati:↑ Brano: Děkuju moc oběma, už konečně začínám chápat, co se po mně chce. :)

nanny1 · 12. 12. 2013 21:22

Bati napsal(a):
↑ nanny1:
Teda, to je dobrej fígl s tím prostředním členem! To si musím pamatovat. :)
$u_n(x)=-\chi_{[-1,-\frac{1}n]}(x)+nx\chi_{(-\frac1{n},\frac1{n})}(x)+\chi_{[\frac1{n},1]}(x)$ .
Zbývá tedy ověřit, že $|f(u_n)|\to2$ a pak zjistit jak je to s nabýváním (což je pak tak nějak už vidět).

Můžu se ještě prosím zeptat? Integrál tedy vychází 2, ale mám trochu obavu, abych to napsala formálně správně, když mám určit supremum přes normu u. Nemůžu asi jenom jednoduše dosadit tu 1 do prvního a -1 do druhého integrálu, protože u(t) na těch intervalech nabývá těch hodnot.. Bojím se, abych zase nenapsala nějakou úplnou kravinu.

Bati · 12. 12. 2013 21:53

↑ nanny1:
Jakej integrál? Napiš přesně co myslíš a zjistíme, jestli to je kravina nebo ne.

nanny1 · 12. 12. 2013 22:12 — Editoval nanny1 (12. 12. 2013 23:03)

Myslím samotný výpočet integrálu a zjištění jeho suprema, když u(t) je posloupnost funkcí. Když u(t) nabývá jenom hodnot 1,-1, jestli je možné vypočítat integrál tak, že prostě dosadím.. Supremum je potom 2 pro u(t)=-1. Ani mě teda nenapadá, jak jinak by se to mělo řešit, ale už jsem z toho úplně zblblá.
Edit: Jestli se to teda vůbec ten výpočet integrálu v tomhle případě, kdy je to předpis funkcionálu, má (a dá) nějak podrobně rozepisovat, když je to zřejmé. Jestli by nestačilo jenom napsat výsledek.

Bati · 16. 12. 2013 00:47

↑ nanny1:
Nějak nerozumím tomu, co myslíš tím dosazováním do integrálu. Napíšu jak by to mělo vypadat. Vezmu ty funkce $u_n$ , které jsem si definoval. Potom
$f(u_n)=\int_{-1}^0u_n-\int_0^1u_n=\int_{-1}^{-1/n}-1\:\mathrm{d}t+\int_{-1/n}^0nt\:\mathrm{d}t- \int_0^{1/n}nt\:\mathrm{d}t-\int_{1/n}^11\:\mathrm{d}t= \frac1n-1-\frac1{2n}-\frac1{2n}-1+\frac1n=-2+\frac1n$ .
Tedy $|f(u_n)|\to2$ pro $n\to\infty$ a $\|u_n\|=1$ , z čehož plyne, že $\|f\|=\sup\{|f(u)|:u\in C[-1,1], \|u\|=1\}\geq2$ . Protože z odhadů víme, že $\|f\|\leq2$ , je $\|f\|=2$ .

Normy se ale na žádném prvku nenabývá - to plyne ze spojitosti funkcí kolem nuly.

nanny1 · 16. 12. 2013 22:52

↑ Bati: Jé, děkuju za reakci, nakonec mi to nějak docvaklo (hlavně jsme konečně na cvičení na normu funkcionálu dělali pár příkladů), ale znamínka jsem tam měla nějak jinak.. Ještě jsem to neodevzdala, tak se na to kouknu, proč to nesedí. Děkuju za radu. :)

Matematické Fórum

#1 05. 12. 2013 21:49 — Editoval nanny1 (05. 12. 2013 23:49)

Norma funkcionálu

#2 06. 12. 2013 17:59 — Editoval kompik (06. 12. 2013 18:00)

Re: Norma funkcionálu

#3 11. 12. 2013 23:04 — Editoval nanny1 (11. 12. 2013 23:14)

Re: Norma funkcionálu

#4 11. 12. 2013 23:32

Re: Norma funkcionálu

#5 11. 12. 2013 23:43 — Editoval Brano (12. 12. 2013 01:37)

Re: Norma funkcionálu

#6 11. 12. 2013 23:53

Re: Norma funkcionálu

#7 12. 12. 2013 21:22

Re: Norma funkcionálu

Bati napsal(a):

#8 12. 12. 2013 21:53

Re: Norma funkcionálu

#9 12. 12. 2013 22:12 — Editoval nanny1 (12. 12. 2013 23:03)

Re: Norma funkcionálu

#10 16. 12. 2013 00:47

Re: Norma funkcionálu

#11 16. 12. 2013 22:52

Re: Norma funkcionálu

Zápatí